Question

14．如圖1，在半徑為5的⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖2，AD交⊙O于F，AF=6，E是半圓的中點(diǎn)，連接FE交AC于G，求S_△AFG．

Answer 1

分析 （1）由CD與⊙O相切，AD⊥CD，可得AD∥OC，繼而可得∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）連接BF，分別作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，GP⊥FB于P，根據(jù)圓周角定理得到∠AFB=90°，AB=10，根據(jù)勾股定理得到BF=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，由已知條件得到∠3=∠4，推出點(diǎn)G為⊙O的內(nèi)心，M、N、P是△FAB內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)，于是得到GM=GN=GP，AM=AN，BM=BP，F(xiàn)N=FP．求得FN=（6+8-10）÷2=2．GN=FN=2．即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC，
∵CD與⊙O相切，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；

（2）連接BF，分別作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，GP⊥FB于P，
∵AB是直徑，半徑為5，
∴∠AFB=90°，AB=10，
又∵AF=6，
∴BF=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵點(diǎn)E是半圓的中點(diǎn)，
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠2，
∴點(diǎn)G為⊙O的內(nèi)心，M、N、P是△FAB內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)，
∴GM=GN=GP，AM=AN，BM=BP，F(xiàn)N=FP．
∴FN=（6+8-10）÷2=2．GN=FN=2．
∴S_△AFG=0.5AF•GN=0.5×6×2=6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及內(nèi)切圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．