Question

11．已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，∠MAN=45°，將∠MAN繞著正方形的頂點A旋轉(zhuǎn)，邊AM、AN分別交兩條角平分線于點M、N，聯(lián)結(jié)MN．
（1）求證：△ABM∽△NDA；
（2）聯(lián)結(jié)BD，當∠BAM的度數(shù)為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD，BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，可證得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可證得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可證得△ABM∽△NDA；
（2）由四邊形BMND為矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可證得BM²=AB²，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
∵BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，
∴△ABM∽△NDA；

（2）解：∵四邊形BMND為矩形，
∴BM=DN，
∵△ABM∽△NDA，
∴$\frac{AB}{DN}$=$\frac{BM}{AD}$，
∴BM²=AB²，
∴BM=AB，
∴∠BAM=∠BMA=$\frac{180°-∠ABM}{2}$=22.5°．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．注意能證得當四邊形BMND為矩形時，△ABM是等腰三角形是難點．