Question

11．如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，BE是∠ABC的平分線，BE⊥AD于E，且$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{四邊形BCDE}}$的值．

Answer 1

分析 首先延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)F，易證得△BEF≌△BEA，則可得DF：FA=1：4，又由△CDF∽△BAF，設(shè)S_△BEF=S_△BEA=x，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可表示出△ADF的面積，根據(jù)S_{四邊形BCED}=S_△BEF-S_△CDF繼而求得答案．

解答 解：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
∵BE⊥AD，
∴∠BEF=∠BEA=90°，
在△BEF和△BEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ABE}\\{BE=BE}\\{∠FEB=∠AEB}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEA（ASA），
∴EA=EF，
設(shè)S_△BEF=S_△BEA=x，
∴S_△ABF=S_△BEF+S_△BEA=2x，
∵$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF：FA=1：4，
∵CD∥BA，
∴△CDF∽△BAF，
∴$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{DF}{AF}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{16}$×S_△BAF=$\frac{1}{8}$x，
∴S_{四邊形BCED}=S_△BEF-S_△CDF=x-$\frac{1}{8}$x=$\frac{7}{8}$x，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{四邊形BCDE}}$=$\frac{x}{\frac{7}{8}x}$=$\frac{8}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及梯形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．