Question

19．已知二次函數(shù)y=a（x²-4x-5），a≠0，下列說法：
①圖象始終與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
②圖象的對稱軸是直線x=2；
③圖象在x軸上截得的線段長為6；
④若a＜0，則當(dāng)-1＜x＜5時(shí)，y＞0；
其中，正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 將y=0代入y=a（x²-4x-5）（a≠0），解方程a（x²-4x-5）=0，求出x₁=-1，x₂=5，即可判斷①；
根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸直線x=-$\frac{2a}$即可判斷②；
由二次函數(shù)y=a（x²-4x-5）與x軸交點(diǎn)為（-1，0），（5，0），求出圖象在x軸上截得的線段長，即可判斷③；
由a＜0，得出拋物線y=a（x²-4x-5）開口向下，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)-1＜x＜5時(shí)，y＞0，即可判斷④．

解答 解：①∵y=a（x²-4x-5），a≠0，
∴當(dāng)y=0時(shí)，a（x²-4x-5）=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴圖象始終與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故說法正確；
②圖象的對稱軸是直線x=$\frac{4a}{2a}$=2，故說法正確；
③∵二次函數(shù)y=a（x²-4x-5）與x軸交點(diǎn)為（-1，0），（5，0），
∴圖象在x軸上截得的線段長為：5-（-1）=6，故說法正確；
④若a＜0，則拋物線y=a（x²-4x-5）開口向下，
∴當(dāng)-1＜x＜5時(shí)，y＞0，故說法正確；
所以正確的命題為①②③④．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），對稱軸是直線x=-$\frac{2a}$．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-$\frac{2a}$時(shí)，y隨x的增大而減�。粁＞-$\frac{2a}$時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-$\frac{2a}$時(shí)，y取得最小值$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-$\frac{2a}$時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-$\frac{2a}$時(shí)，y隨x的增大而減�。粁=-$\frac{2a}$時(shí)，y取得最大值$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．