Question

1．觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，驗(yàn)證：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{{{2^2}×2}}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$．$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，驗(yàn)證：$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{{{3^2}×3}}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$．
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程，猜想$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．
（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用a（a為任意自然數(shù)，且a≥2）表示的等式，并給出驗(yàn)證．
（3）針對(duì)三次根式及n次根式（n為任意自然數(shù)，且n≥2），有無上述類似的變形？如果有，寫出用a（a為任意自然數(shù)，且a≥2）表示的等式，并給出驗(yàn)證．

Answer 1

分析 （1）利用已知，觀察$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{{{2^2}×2}}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$．$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，可得$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$的值；
（2）由（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以總結(jié)出一般規(guī)律；
（3）利用已知可得出三次根式的類似規(guī)律，進(jìn)而驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，
理由是：$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=$\sqrt{\frac{64}{15}}$=$\sqrt{\frac{{4}^{2}×4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$；

（2）由（1）中的規(guī)律可知3=2²-1，8=3²-1，15=4²-1，
∴$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$，
驗(yàn)證：$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}}$=a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$；正確；

（3）$\root{3}{a+\frac{1}{{a}^{3}-1}}$=a$\root{3}{\frac{a}{{a}^{3}-1}}$（a為任意自然數(shù)，且a≥2），
驗(yàn)證：$\root{3}{a+\frac{1}{{a}^{3}-1}}$=$\root{3}{\frac{{a}^{4}-a+a}{{a}^{3}-1}}$=$\root{3}{\frac{{a}^{4}}{{a}^{3}-1}}$=a$\root{3}{\frac{a}{{a}^{3}-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，善于發(fā)現(xiàn)題目數(shù)字之間的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．