Question

8．【提出問題】
（1）已知：菱形ABCD的變長(zhǎng)為4，∠ADC=60°，△PEF為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上時(shí)（如圖1所示），求AE+AF的值；
【類比探究】
（2）在上面的問題中，如果把點(diǎn)P沿DA方向移動(dòng)，使PD=1，其余條件不變（如圖2），你能發(fā)現(xiàn)AE+AF的值是多少？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；
【拓展遷移】
（3）在原問題中，當(dāng)點(diǎn)P在線段DA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3），設(shè)AP=m，則線段AE、AF的長(zhǎng)與m有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先判斷出△ACD是等邊三角形，即可判斷出AC=AD=4；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△APF≌△CPE，即可判斷出CE=AF，據(jù)此求出AE+AF的值是多少即可．
（2）首先取AC上的點(diǎn)G，使得CG=PD=1，判斷出GP∥CD，即可判斷出∠APF=∠GPE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△APF≌△GPE，即可判斷出GE=AF，據(jù)此求出AE+AF的值是多少即可．
（3）首先作PH∥CD交CE于點(diǎn)H，判斷出△AHP∽△ACD，即可判斷出△AHP是等邊三角形；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△APF≌△HPE，即可判斷出AF=HE，再根據(jù)PA=AH，可得AE=PA+AF，所以AE-AF=m，據(jù)此解答即可．

解答 解：（1）如圖1，，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴PA=PC，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD=4，
又∵△PEF為等邊三角形，
∴∠ADC=∠EPF=60°，
∴∠APF=∠CPE，
在△APF和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CP}\\{∠APF=∠CPE}\\{PF=PE}\end{array}\right.$
∴△APF≌△CPE，
∴CE=AF，
∴AE+AF=AE+CE=AC=4，
即AE+AF的值是4．

（2）如圖2，點(diǎn)G是AC上的一點(diǎn)，且滿足CG=PD=1，，
∵CG=PD，AC=AD，
∴AG=AP，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{AP}{PD}$，
∴GP∥CD，
∴∠GPA=∠CDA=60°，
又∵EPF=60°，
∴∠APF=∠GPE，
在△APF和△GPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=GP}\\{∠APF=∠GPE}\\{FP=EP}\end{array}\right.$
∴△APF≌△GPE，
∴GE=AF，
∴AE+AF=AE+GE=AG=AC-CG=4-1=3，
即AE+AF的值是3．


（3）如圖3，作PH∥CD交CE于點(diǎn)H，，
由（1），可得△ACD是等邊三角形，
∵PH∥CD，
∴△AHP∽△ACD，
∴△AHP是等邊三角形，
∴PA=PH，∠APH=∠EPF=60°，
∴∠FPA=∠EPH，
在△APF和△HPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PH}\\{∠FPA=∠EPH}\\{PF=PE}\end{array}\right.$
∴△APF≌△HPE，
∴AF=HE，
又∵PA=AH，
∴AE=PA+AF，
∴AE-AF=m．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．
（3）此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．