Question

13．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（0，3），B（4，0）兩點．
（1）用僅含字母a的式子表達這個二次函數(shù)的解析式．
（2）該二次函數(shù)的對稱軸不可能是（　　），并對你的選擇進行證明．
A．x=0        B．x=1       C．x=2        D．x=3
（3）以-a代替（1）中二次函數(shù)y的解析式中的a，得到二次函數(shù)y′的解析式．
①二次函數(shù)y′的圖象是否也經(jīng)過A，B兩點？請說明理由．
②當(dāng)x=t（0≤t≤4）時，求|y-y′|的最大值（用僅含字母a的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)對稱軸公式求得對稱軸，即可判斷；
（3）①以-a代替（1）中二次函數(shù)y的解析式中的a，得到二次函數(shù)y′的解析式，然后把A、B兩點代入即可驗證；
②解|y-y′|得到②|y-y′|=|2a（x-2）²-8a+6|，當(dāng)x=t時，|y-y′|=|2a（t-2）²-8a+6|，所以當(dāng)t=2時，有最大值|-8a+6|．

解答 解：（1）將A（0，3），B（4，0）分別代入解析式得
$\left\{\begin{array}{l}c=3\\ 16a+4b+c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=-4a-\frac{3}{4}\\ c=3\end{array}\right.$，
故函數(shù)解析式為y=ax²-（4a+$\frac{3}{4}$）x+3；
（2）對稱軸為x=-$\frac{-（4a+\frac{3}{4}）}{2a}$=2+$\frac{3}{8a}$≠2，
故選C．
（3）①y′=-ax²+bx+c，
由（1）可得y′=-ax²-（-4a+$\frac{3}{4}$）x+3，
將x=0代入解析式得，y′=3，故A（0，3）在拋物線上；
將x=4代入解析式得，y′=-16a+16a-3+3=0，故B（4，0）在拋物線上．
②|y-y′|=|ax²-（4a+$\frac{3}{4}$）x+3-[-ax²-（-4a+$\frac{3}{4}$）x+3]|
=|2ax²-8ax+6|
=|2a（x²-4x+4-4）+6|
=|2a（x-2）²-8a+6|
即|y-y′|=|2a（t-2）²-8a+6|，
故|y-y′|最大值為|-8a+6|．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等，待定系數(shù)法求解析式是本題的關(guān)鍵．