Question

19．已知關(guān)于x的方程k²x²-2（k+1）x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
（1）求k的取值范圍．
（2）請(qǐng)你從第（1）題得到的k的取值范圍中選擇一個(gè)你喜歡的實(shí)數(shù)，寫出這個(gè)方程，并求兩根．
（3）你能否選擇一個(gè)實(shí)數(shù)k，使這個(gè)方程的兩根均為有理數(shù)（試一下，你一定能成功！）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k²≠0且△=4（k+1）²-4k²≥0，然后解兩個(gè)不等式，求出它們的公共部分即可；
（2）答案不唯一，只要在k的取值范圍內(nèi)取值即可，注意是用配方法解方程；
（3）要使這個(gè)方程的兩根均為有理數(shù)，只要△=8k+4是完全平方數(shù)即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得k²≠0且△=4（k+1）²-4k²=8k+4≥0，
解得k≥-$\frac{1}{2}$且k≠0；
（2）答案不唯一，如當(dāng)k=1時(shí)，
原方程為：x²-4x+1=0．
解得x₁=2+$\sqrt{3}$，x₂=2-$\sqrt{3}$．
（3）∵方程的兩根均為有理數(shù)，
∴△=8k+4是完全平方數(shù)，
∴k=4即可．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．