Question

2．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，且∠B+∠C=90°，分別以AB、AD、DC為邊向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面積依次記為S₁、S₂、S₃，若S₁+S₃=4S₂，求$\frac{BC}{AD}$的值．

Answer 1

分析 過點A作AE∥BC交CD于點E，得到平行四邊形ABCE和Rt△ADE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，不難證明三個正方形的邊長對應(yīng)等于所得直角三角形的邊．

解答 證明：過點A作AE∥DC交CB于點E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD=CE，DC=AE，∠BCD=∠AEB，
∵∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
∵S₁=AB²，S₂=AD²=BE²，S₃=DC²=AE²，
∵S₁+S₃=4S₂，
∴AB²+DC²=AB²+AE²=4AD²=BE²，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BC}{AD}$=3．

點評 本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵在于通過作輔助線把梯形的問題轉(zhuǎn)換為平行四邊形和直角三角形的問題，然后把三個正方形的邊長整理到一個三角形中進行解題．