Question

17．已知點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是線段AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）如圖1，求證：AF=DC；
（2）如圖2，連接AC，若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）可證明△AEF≌△DEB，可得到AF=BD，結(jié)合D為BC中點(diǎn)，可證明AF=DC；
（2）由（1）可證明四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可證明AD=CD，可證明四邊形ADCF為菱形．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠EFA=∠EBD，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴AE=ED，
在△AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠EBD}\\{∠AEF=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵D為BC中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴AF=DC；
（2）解：四邊形ADCF為菱形，證明如下：
由（1）可知AF=DC，且AF∥DC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
∵AC⊥AB，且D為BC中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∴四邊形ADCF為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形判定和性質(zhì)及平行四邊形、菱形的判定，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．