Question

10．已知，如圖，在△ABC中，點D在AB上，BD=AC，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，CD的中點，EF，CA的延長線相交于點H．求證：
（1）∠CGE=∠ACD+∠CAD；
（2）AH=AF．

Answer 1

分析 （1）由題目的已知條件可得EG是△BDC的中位線，所以EG∥BD，由此可得∠CGE=∠BDC，再根據(jù)三角形外角和定理即可證明∠CGE=∠ACD+∠CAD；
（2）連接FG，易證△FGE是等腰三角形，所以∠GFE=∠GEF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角相等可證明∠H=∠AFE，進而可得：AH=AF，

解答 證明（1）∵E，G分別是BC，CD的中點，
∴EG是△BDC的中位線，
∴EG∥BD，
∴∠CGE=∠BDC，
∵∠BDC=∠ACD+∠CAD，
∴∠CGE=∠ACD+∠CAD；
（2）連接FG，
∵E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，CD的中點，
∴EG=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AC，
∵BD=AC，
∴GE=GF，
∴∠GFE=∠GEF，
∵FG∥HC，
∴∠GFE=∠H，
∵∠GEF=∠BFE=∠AFH，
∴∠H=∠AFE，
∴AH=AF．

點評 本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．