7. 觀察下列等式，×2 = +2，×3 = +3，×4 = +4，×5 = +5
設
表示正整數，用關于的等式表示這個規(guī)律為_______ ____；
6.
不等式組
的解集是____
________。方程
的解是__ ___ x=5_____________.
5. 在實數范圍內分解因式：ab2－2a＝___ ______.計算：+＝ 。
4.
計算：
=
。計算：
+
―
=
。
3.
如果|a+2|+
=0，那么a、b的大小關系為a b(填“＞”“=”或“<”)；
2.
的立方根是 ，
的平方根是 ；
1. 一種細菌的半徑約為0.000045米，用科學記數法表示為 米．
我們已經復習了牛頓定律、動量定理和動量守恒、動能定理和機械能守恒。它們分別反映了力的瞬時作用效應、力的時間積累效應和力的空間積累效應。解決力學問題離不開這三種解題思路。在比較復雜的題目中，這三種手段往往是交替使用的。下面舉幾個例說明這一點。
[例12]如圖所示，a、b、c三個相同的小球，a從光滑斜面頂端由靜止開始自由下滑，同時b、c從同一高度分別開始自由下落和平拋。下列說法正確的有
A．它們同時到達同一水平面
B．重力對它們的沖量相同
C．它們的末動能相同
D．它們動量變化的大小相同
解：b、c飛行時間相同(都是
)；a與b比較，兩者平均速度大小相同(末動能相同)；但顯然a的位移大，所以用的時間長，因此A、B都不對。由于機械能守恒，c的機械能最大(有初動能)，到地面時末動能也大，因此C也不對。a、b的初動量都是零，末動量大小又相同，所以動量變化大小相同；b、c所受沖量相同，所以動量變化大小也相同，故D正確。
這道題看似簡單，實際上考察了平均速度、功、沖量等很多知識。另外，在比較中以b為中介：a、b的初、末動能相同，平均速度大小相同，但重力作用時間不同；b、c飛行時間相同(都等于自由落體時間)，但初動能不同。本題如果去掉b球可能更難做一些。
[例13]質量為m的汽車在平直公路上以速度v勻速行駛，發(fā)動機實際功率為P。若司機突然減小油門使實際功率減為P/2并保持下去，汽車所受阻力不變，則減小油門瞬間汽車加速度大小是多少？以后汽車將怎樣運動？
解：由公式F- f=ma和P=Fv，原來牽引力F等于阻力f，減小油門瞬間v未變，由P=Fv，F將減半，合力變?yōu)?sub>
，方向和速度方向相反，加速度大小為
；以后汽車做恒定功率的減速運動，F又逐漸增大，當增大到F=f時，a=0，速度減到最小為v/2，再以后一直做勻速運動。
這道題是恒定功率減速的問題，和恒定功率加速的思路是完全相同的。
[例14]質量為M的小車A左端固定一根輕彈簧，車靜止在光滑水平面上，一質量為m的小物塊B從右端以速度v0沖上小車并壓縮彈簧，然后又被彈回，回到車右端時剛好與車保持相對靜止。求這過程彈簧的最大彈性勢能EP和全過程系統(tǒng)摩擦生熱Q各多少？簡述B相對于車向右返回過程中小車的速度變化情況。
解：全過程系統(tǒng)動量守恒，小物塊在車左端和回到車右端兩個時刻，系統(tǒng)的速度是相同的，都滿足：mv0=(m+M)v；第二階段初、末系統(tǒng)動能相同，說明小物塊從車左端返回車右端過程中彈性勢能的減小恰好等于系統(tǒng)內能的增加，即彈簧的最大彈性勢能EP恰好等于返回過程的摩擦生熱，而往、返兩個過程中摩擦生熱是相同的，所以EP是全過程摩擦生熱Q的一半。又因為全過程系統(tǒng)的動能損失應該等于系統(tǒng)因摩擦而增加的內能，所以ΔEK=Q=2EP
而
， ∴
，
。
至于B相對于車向右返回過程中小車的速度變化，則應該用牛頓運動定律來分析：剛開始向右返回時刻，彈簧對B的彈力一定大于滑動摩擦力，根據牛頓第三定律，小車受的彈力F也一定大于摩擦力f，小車向左加速運動；彈力逐漸減小而摩擦力大小不變，所以到某一時刻彈力和摩擦力大小相等，這時小車速度最大；以后彈力將小于摩擦力，小車受的合外力向右，開始做減速運動；B脫離彈簧后，小車在水平方向只受摩擦力，繼續(xù)減速，直到和B具有向左的共同速度，并保持勻速運動。
[例15]海岸炮將炮彈水平射出。炮身質量(不含炮彈)為M，每顆炮彈質量為m。當炮身固定時，炮彈水平射程為s，那么當炮身不固定時，發(fā)射同樣的炮彈，水平射程將是多少？
解：兩次發(fā)射轉化為動能的化學能E是相同的。第一次化學能全部轉化為炮彈的動能；第二次化學能轉化為炮彈和炮身的動能，而炮彈和炮身水平動量守恒，由動能和動量的關系式
知，在動量大小相同的情況下，物體的動能和質量成反比，炮彈的動能
，
，由于平拋的射高相等，兩次射程的比等于拋出時初速度之比，有
，故
。
這是典型的把動量和能量結合起來應用的應用題。要熟練掌握一個物體的動能和它的動量大小的關系；要善于從能量守恒的觀點(本題是系統(tǒng)機械能增量相同)來分析問題。
[例16]質量為m的長木板A靜止在光滑水平面上，另兩個質量也是m的鐵塊B、C同時從A的左右兩端滑上A的上表面，初速度大小分別為v和2v，B、C與A間的動摩擦因數均為μ。(1)分析B、C滑上長木板A后，A的運動狀態(tài)如何變化？(2)為使B、C不相撞，A木板至少多長？
解：B、C都相對于A滑動時，A所受合力為零，保持靜止。這段時間為
。B剛好相對于A 靜止時，C的速度為v，A開向左做勻加速運動，由動量守恒可求出A、B、C最終的共同速度
，這段加速經歷的時間為
，最終A將以
做勻速運動。
全過程系統(tǒng)動能的損失都將轉化為系統(tǒng)的內能，而摩擦生熱
，由能量守恒定律列式：
，
。這就是A木板應該具有的最小長度。
本題還可以求系統(tǒng)機械能損失(摩擦生熱)和B、C與A摩擦生熱之比：第一階段B對A的位移就是對地的位移：sB=v2/2μg，C的平均速度是其3倍因此C對A的位移是其3倍：sC=3v2/2μg；第二階段A、B共同向左運動的加速度是μg/2，對地位移是s=v2/9μg，C平均速度是其4倍，對地位移是s/= 4v2/9μg，相對于A位移是v2/3μg，故B、C與A間的相對位移大小依次是dB=
v2/2μg和dC=11v2/6μg，于是系統(tǒng)摩擦生熱為μmg(dB+
dC)=7mv2/3，dB∶dC=3∶11
[例17]質量M的小車左端放有質量m的鐵塊，以共同速度v沿光滑水平面向豎直墻運動，車與墻碰撞的時間極短，不計動能損失。動摩擦因數μ，車長L，鐵塊不會到達車的右端。到最終相對靜止為止，摩擦生熱多少？
解：車與墻碰后瞬間，小車的速度向左，大小是v，而鐵塊的速度未變，仍是v，方向向左。根據動量守恒定律，車與鐵塊相對靜止時的速度方向決定于M與m的大小關系：當M>m時，相對靜止是的共同速度必向左，不會再次與墻相碰，可求得摩擦生熱是
；當M=m時，顯然最終共同速度為零，當M<m時，相對靜止時的共同速度必向右，再次與墻相碰，直到小車停在墻邊，后兩種情況的摩擦生熱都等于系統(tǒng)的初動能
[例18]一傳送帶裝置如圖示，其中傳送帶經過AB區(qū)域時是水平的，經過BC區(qū)域時變?yōu)閳A弧形(圓弧由光滑模板形成，末畫出)，經過CD區(qū)域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切�，F將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h。穩(wěn)定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L。每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(忽略經BC段的微小滑動)。已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目為N。這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦。求電動機平均輸出功率P。
解：電動機做功的過程，電能除了轉化為小貨箱的機械能，還有一部分由于小貨箱和傳送帶間的滑動摩擦而轉化成內能。摩擦生熱可以由Q=fd求得，其中f是相對滑動的兩個物體間的摩擦力大小，d是這兩個物體間相對滑動的路程。本題中設傳送帶速度一直是v，則相對滑動過程中傳送帶的平均速度就是小貨箱的2倍，相對滑動路程d和小貨箱的實際位移s大小相同，故摩擦生熱和小貨箱的末動能大小相同Q=mv2/2。因此有W=mv2+mgh。又由已知，在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目為N，所以有
，vT=NL，帶入后得到
。
做功的過程是能量轉化的過程，功是能的轉化的量度。
能量守恒和轉化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量發(fā)生相互轉化的過程中，功扮演著重要的角色。本章的主要定理、定律都是由這個基本原理出發(fā)而得到的。
需要強調的是：功是一種過程量，它和一段位移(一段時間)相對應；而能是一種狀態(tài)量，它個一個時刻相對應。兩者的單位是相同的(都是J)，但不能說功就是能，也不能說“功變成了能”。
復習本章的一個重要課題是要研究功和能的關系，尤其是功和機械能的關系。突出：“功是能量轉化的量度”這一基本概念。
(1)物體動能的增量由外力做的總功來量度：W外=ΔEk，這就是動能定理。
(2)物體重力勢能的增量由重力做的功來量度：WG= -ΔEP，這就是勢能定理。
(3)物體機械能的增量由重力以外的其他力做的功來量度：W其=ΔE機，(W其表示除重力以外的其它力做的功)，這就是機械能定理。
(4)當W其=0時，說明只有重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒。
(5)一對互為作用力反作用力的摩擦力做的總功，用來量度該過程系統(tǒng)由于摩擦而減小的機械能，也就是系統(tǒng)增加的內能。f žd=Q(d為這兩個物體間相對移動的路程)。
[例10]質量為m的物體在豎直向上的恒力F作用下減速上升了H，在這個過程中，下列說法中正確的有
A．物體的重力勢能增加了mgH B．物體的動能減少了FH
C．物體的機械能增加了FH D．物體重力勢能的增加小于動能的減少
解：由以上三個定理不難得出正確答案是A、C
[例11]如圖所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零。小球下降階段下列說法中正確的是
A．在B位置小球動能最大
B．在C位置小球動能最大
C．從A→C位置小球重力勢能的減少大于小球動能的增加
D．從A→D位置小球重力勢能的減少等于彈簧彈性勢能的增加
解：小球動能的增加用合外力做功來量度，A→C小球受的合力一直向下，對小球做正功，使動能增加；C→D小球受的合力一直向上，對小球做負功，使動能減小，所以B正確。從A→C小球重力勢能的減少等于小球動能的增加和彈性勢能之和，所以C正確。A、D兩位置動能均為零，重力做的正功等于彈力做的負功，所以D正確。選B、C、D。
3．應用機械能守恒定律解決問題時的步驟：
(1)確定研究對象即系統(tǒng)和研究過程
即明確所研究的是哪些物體，它們之間有哪些相互作用，它們與外界的聯系點是什么。
(2)判斷系統(tǒng)的機械能是否守恒
如判斷出系統(tǒng)的機械能守恒，判斷系統(tǒng)機械能是否守恒時應根據機械能守恒條件，判斷系統(tǒng)內物體間的相互作用是否只有重力和彈力，如果有別的力，這個力是否做功及外界是否對系統(tǒng)不做功。
(3)再把系統(tǒng)內各個物體的動能與勢能代入機械能守恒定律公式進行計算。
代入物體機械能時要注意應把各個物體的動能和勢能都考慮到，不能丟掉某一項，如果是一個物體與地球組成的系統(tǒng)，比如各種拋體問題，等式左右兩邊應各有一項動能和勢能，如果是一個物體與地球組成的系統(tǒng)，如各種連接體問題，等式左右兩邊應各有兩項動能和勢能，如系統(tǒng)中還有彈性體，如含有彈簧，則還要考慮彈性勢能。其中如果合理選取零勢能面，能使若干項重力勢能為零，使計算更為簡化。
[例7]如圖物塊和斜面都是光滑的，物塊從靜止沿斜面下滑過程中，物塊機械能是否守恒？系統(tǒng)機械能是否守恒？
解：以物塊和斜面系統(tǒng)為研究對象，很明顯物塊下滑過程中系統(tǒng)不受摩擦和介質阻力，故系統(tǒng)機械能守恒。又由水平方向系統(tǒng)動量守恒可以得知：斜面將向左運動，即斜面的機械能將增大，故物塊的機械能一定減少。
有些同學一看本題說的是光滑斜面，容易錯認為物塊本身機械能就守恒。這里要提醒兩條：(1)由于斜面本身要向左滑動，所以斜面對物塊的彈力N和物塊的實際位移s的方向已經不再垂直，彈力要對物塊做負功，對物塊來說已經不再滿足“只有重力做功”的條件。(2)由于水平方向系統(tǒng)動量守恒，斜面一定會向左運動，其動能也只能是由物塊的機械能轉移而來，所以物塊的機械能必然減少。
[例8]如圖所示，質量分別為2 m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉動軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉動，求：(1)當A到達最低點時，A小球的速度大小v；(2) B球能上升的最大高度h；(3)開始轉動后B球可能達到的最大速度vm。
解：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對象，由于轉動過程不受摩擦和介質阻力，所以該系統(tǒng)的機械能守恒。
(1)過程中A的重力勢能減少， A、B的動能和B的重力勢能增加，A的即時速度總是B的2倍。
，解得
(2)B球不可能到達O的正上方，它到達最大高度時速度一定為零，設該位置比OA豎直位置向左偏了α角。2mgž2Lcosα=3mgžL(1+sinα)，此式可化簡為4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°
(3)B球速度最大時就是系統(tǒng)動能最大時，而系統(tǒng)動能增大等于系統(tǒng)重力做的功WG。設OA從開始轉過θ角時B球速度最大，
=2mgž2Lsinθ-3mgžL(1-cosθ)
=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgžL，解得
本題如果用EP+EK= EP′+EK′這種表達形式，就需要規(guī)定重力勢能的參考平面，顯然比較煩瑣。用ΔE增=ΔE減就要簡潔得多。
[例9]如圖所示，粗細均勻的U形管內裝有總長為4L的水。開始時閥門K閉合，左右支管內水面高度差為L。打開閥門K后，左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？(管的內部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計)
解：由于不考慮摩擦阻力，故整個水柱的機械能守恒。從初始狀態(tài)到左右支管水面相平為止，相當于有長L/2的水柱由左管移到右管。系統(tǒng)的重力勢能減少，動能增加。該過程中，整個水柱勢能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢能的減少。不妨設水柱總質量為8m，則
，得
。
本題在應用機械能守恒定律時仍然是用ΔE增
=ΔE減
建立方程，在計算系統(tǒng)重力勢能變化時用了等效方法。需要注意的是：研究對象仍然是整個水柱，到兩個支管水面相平時，整個水柱中的每一小部分的速率都是相同的。
國際學校優(yōu)選 - 練習冊列表 - 試題列表
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com