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同步練習(xí) 　9.5空間的角和距離

1.正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E是CC₁的中點(diǎn)，則E到A₁B的距離是　 (　 )

A. a 　　 B. a C. a　　 　 D. a

[例1]如圖，三棱錐D-ABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=90⁰，其腰BC=a，且二面角D-AB-C=60⁰.

(1)　　　　　 求異面直線DA與BC所成的角；

(2)　　　　　 求異面直線BD與AC所成的角；

(3)　　　　　 求D到BC的距離；

(4)　　　　　 求異面直線BD與AC的距離.

解析：(1)DA與BC成60⁰角

(2)設(shè)BE中點(diǎn)為O，DE中點(diǎn)為F，連OF，則OF//BD，求∠AOF即為

異面直線BD與AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF =arccos

(3)∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC故取AE中點(diǎn)M，則有DM⊥平面ABC；取BC中點(diǎn)N，由MN⊥BC，根據(jù)三垂線定理，DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距離

在△DMN中，DM=a，MN=a　 ∴ DN=a

　 (4)∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF

∴ AC∥平面BDF； 又BD平面BDF

∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離

∵ ，

∴

，

即異面直線BD與AC的距離為

◆評注：三棱錐的等體積變換求高，也是求點(diǎn)到面距離的常用方法.

[例2](2006邯鄲二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面垂直,M是PB的中點(diǎn),

(Ⅰ) 求證：CM∥側(cè)面PAD；

(Ⅱ)求直線CM與底面ABCD所成的角；

(Ⅲ)求側(cè)面PBC與側(cè)面PAD所成二面角的大小

解：(Ⅰ)證明：作MN∥AB交AP于N,連結(jié)DN,

則MN∥AB∥CD,且

　∴CM∥ND,CM∥平面PAD

(Ⅱ)∵CM∥ND, ∴ND與平面ABCD所成的角為所求.

∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∴ND在平面ABCD上的射影為AD

∴∠AND為所求； ∵⊿PAD是正三角形，N是PA的中點(diǎn)

∴CM與底面所成的角為30º.

(Ⅲ)延長AD、BC交于點(diǎn)E,連結(jié)P、E.

則PE為所求二面角的棱，且AD=DE=PD

所以，∠APE=90º，AP⊥PE

又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD

　 ∴AB⊥平面PAE

∴BP⊥PE, ∠BPA為所求二面角的平面角

tan∠BPA=

所以，側(cè)面PBC與側(cè)面PAD所的角為arctan2

[例3]如圖，已知二面角α-PQ-β為60°，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在平面α和平面　　　　 β 內(nèi)，點(diǎn)C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a.

(1)求證：AB⊥PQ；

(2)求點(diǎn)B到平面α的距離；

(3)設(shè)R是線段CA上的一點(diǎn)，直線BR與平面α所成的角為45°，求線段CR的長度.

證明(1)：在平面β內(nèi)作BD⊥PQ于D，連結(jié)AD.

∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，CD公用，

∴△ACD≌△BCD . ∴∠ADC=∠BDC=　 90°，即AD⊥PQ.于是PQ⊥平面ABD，

則AB⊥PQ.

(2)解：由(1)知，∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角，

∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD，

∴α⊥平面ABD.過B作BE⊥AD于點(diǎn)E，則BE即為B到平面α的距離.

BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°= a.

(3)　　　　　 解：連結(jié)ER，∵BE⊥α，∴∠BRE是BR與α所成的角，

即∠BRE=45°，則有BR== a.易知△ABD為正三角形，AB=AD=BD=a.

在△ABC中，由余弦定理得cos∠BCA=.

在△BCR中，設(shè)CR=x，由余弦定理得(a)²=x²+a²－2ax·，求得x₁=，x₂=(舍去，∵CR<AC=a)，故CR=.

[例4]四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知,,,．

(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)求直線SD與平面SBC所成角的大小．

解:(1)作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．

因為，所以，

又，故為等腰直角三角形，，由三垂線定理，得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，依題設(shè)，

故，由，，．

又，作，垂足為，則平面，連結(jié)．為直線與平面所成的角．

∴直線與平面SBC所成的角為．

5．“如果兩個二面角的兩個半平面分別對應(yīng)垂直，那麼這兩個二面角的平面角相等或互補(bǔ)”.當(dāng)兩棱不平行不成立，所以，這個命題是錯誤的.　　 6。

3．提示：四個面全等，設(shè)面積為S，設(shè)三個側(cè)面在底面上的射影分別是S₁、S₂、S₃，則　 S= S₁+S₂+S₃=Scosα+Scosβ+Scosγ…

2．提示：作PO⊥平面ABC于O，則O是Δ的外接圓圓心，且∠AOB=120⁰……

6。正三棱錐的高為，側(cè)棱與底面成角，則點(diǎn)到側(cè)面的距離為_____．

◆答案提示：1-3．ABA；　　 4.　 ；

5．對于平面幾何中的命題“如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)”，在立體幾何中，類比上述命題可以得到命題__________，這個命題的真假性是______ .

4.設(shè)PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_____________；點(diǎn)P到BC的距離是_____________.

3.三棱錐V-ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，側(cè)面與底面ABC所成二面角分別為α，β，γ(都是銳角)，則cosα+cosβ+cosγ等于 (　 )

　A.1　　 B.2　　　 C.　　 D.

2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是 　　　　　　(　 )

A.13　　 　 B.11　　 C.9　 　 D.7