[例3]如圖所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
PD=AD=2.
(1)求異面直線PC與BD所成的角；
(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使PC⊥平面ADE？
若存在，確定E點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.
命題意圖：立體幾何問題主要考點(diǎn)是底面為四邊形的柱體或錐體或折疊問題，主要考距離、二面角、線面垂直、平行。重點(diǎn)是處理空間線、面關(guān)系的能力，運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)、探究、開放的思想(存在性問題)。從這個(gè)角度來看，變化并不大，題目的難度也不大，屬中檔題的范疇，但是還要關(guān)注立體幾何試題命題的一些變化趨勢(shì)，關(guān)注試題的創(chuàng)新。因此，立體幾何的復(fù)習(xí)要在強(qiáng)化常規(guī)題訓(xùn)練和關(guān)注試題創(chuàng)新這兩個(gè)方面下功夫。本題一道已從解決現(xiàn)成問題發(fā)展為探究問題的存在性,解決問題的嘗試性。
[分析及解]如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，
A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，
(1)
∴ 
∴ 
，∴異面直線PC與BD所成的角為60°
(2)假設(shè)在PB上存在E點(diǎn)，使PC⊥平 ADE，記
∴ 
若PC⊥平面ADE，則有PC⊥AE，
即
，∴ 
∴存在E點(diǎn)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADE.
評(píng)注：立體幾何的試題考查的核心和熱點(diǎn)仍然是考查空間圖形的線面關(guān)系及幾何量的計(jì)算，即圍繞平行，垂直，距離和角的問題進(jìn)行命題設(shè)計(jì)，其中平行和垂直是線面的位置關(guān)系，距離和角是線面的數(shù)量關(guān)系，在試題設(shè)計(jì)時(shí)，仍然是以正方體，長(zhǎng)方體，棱柱，棱錐為載體，在解法上，則注意解法的多樣化，對(duì)于一道立體幾何試題，往往既能用傳統(tǒng)方法求解又能用向量方法求解，有的題目可以用兩種方法結(jié)合求解。有些立體幾何試題,已經(jīng)不是單一的幾何背景,還涉及到解析幾何,方程,不等式,最值,概率等其它數(shù)學(xué)分支,從而考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的靈活性.
跟蹤訓(xùn)練3．(本小題共12分)在三棱錐
中，
，
.
(Ⅰ)證明：
⊥
；
(Ⅱ)求二面角A-BC-S的大��；
(Ⅲ)求直線AB與平面SBC所成角的正弦值.
[例1]已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最小值；
(Ⅱ)在給出的直角坐標(biāo)系中，
畫出函數(shù)
上的圖象.
命題意圖：三角與三角函數(shù)的綜合問題主要考點(diǎn)是三角變換、圖像、解析式、向量或三角應(yīng)用題，重點(diǎn)是三角、向量基本知識(shí)的綜合應(yīng)用能力。數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化的思想是解決三角函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常使用的基本思想方法。屬于基礎(chǔ)題或中檔題的層面，高考中一定要盡量拿滿分。
|
[分析及解](Ⅰ)
所以，
的最小正周期
，最小值為
(Ⅱ)列表：
|
x |
0 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
 |
2 |
0 |
－2 |
0 |
|
故畫出函數(shù)上的圖象為
評(píng)注：三角函數(shù)的訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)立足課本，緊扣高考真題，不需要加深加寬．解答三角函數(shù)考題的關(guān)鍵是進(jìn)行必要的三角恒等變形，其解題通法是：發(fā)現(xiàn)差異(角度，函數(shù)，運(yùn)算)，尋找聯(lián)系(套用、變用、活用公式，技巧，方法)，合理轉(zhuǎn)化(由因?qū)Ч晒揭?．其解題技巧有：常值代換：特別是用“1”的代換；項(xiàng)的分拆與角的配湊；化弦(切)法；降次與升次；引入輔助角：asinθ+bcosθ=
sin(θ+
)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由
確定．此類題目的特點(diǎn)是主要考查三角函數(shù)的概念、周期性、單調(diào)性、有界性、“五點(diǎn)法”作圖，以及求三角函數(shù)的最大(最小)值等.
跟蹤訓(xùn)練1．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)
,其中向量
, 
,x∈R.
(I)求
的值及函數(shù)的最大值；
(II)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
7．預(yù)測(cè)題
(1)(07天津)在
上定義的函數(shù)
是偶函數(shù)，且
，若在區(qū)間
是減函數(shù)，則函數(shù)(
)
A.在區(qū)間
上是增函數(shù)，區(qū)間
上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)
分析：本題為抽象函數(shù)，可以從函數(shù)的性質(zhì)入手，研究函數(shù)的單調(diào)性和周期以及圖象。也可以具體化，把一般轉(zhuǎn)為特殊，取符合條件的特殊的例子解答。
解法一：因?yàn)楹瘮?shù)在上是偶函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且
，由此知為以2為周期的周期函數(shù)，所以在區(qū)間上的單調(diào)性與在區(qū)間是一致的，是減函數(shù)。故選B
解法二：由知函數(shù)圖象關(guān)于
對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是偶函數(shù)，圖象又關(guān)于
對(duì)稱，于是可以作如圖所示的示意圖。
從圖中判斷，選擇B。
答案：B
評(píng)注：解法一利用性質(zhì)解答，解法二把一般轉(zhuǎn)化為特殊，
結(jié)合圖形一目了然，不適為好的方法。
(2)(原創(chuàng))過拋物線
的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)P和Q，那么線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程是(
)
(A) 
(B) 
(C)
(D)
分析：本題中的直線任意，可以先取特殊情況，當(dāng)線段PQ為拋物線的通徑時(shí)，其中點(diǎn)就是焦點(diǎn)，即焦點(diǎn)應(yīng)在所求的軌跡上適合方程。
解：(特殊點(diǎn)篩選法)拋物線的焦點(diǎn)為
，直線過拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)
時(shí)，線段PQ中點(diǎn)為由已知可知軌跡曲線的頂點(diǎn)為 ，開口向上，由此排除答案A、C、D，所以選B；
另解：(直接法)拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)過焦點(diǎn)的直線
，則
，消y得：
，中點(diǎn)坐標(biāo)有
，消
得，選B.
評(píng)注：通過比較即可看出取特殊位置時(shí)解法比較簡(jiǎn)單。
(3)設(shè)
，則
大小關(guān)系是______________；
分析：已知條件中的
任意，可以取特殊值進(jìn)行比較。
解：考慮到三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是確定的，不妨令：，
評(píng)注：利用取特殊值法時(shí)，所取的值要滿足條件、簡(jiǎn)單而且便于計(jì)算，有區(qū)分度才有利于解答問題。
(4)．設(shè)
是公比為
的等比數(shù)列，
是它的前
項(xiàng)和，若
是等差數(shù)列，則=______________；
分析：由于等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式使用時(shí)需要分兩種情況，當(dāng)
時(shí)和當(dāng)
時(shí)，所以首先想到
解：因?yàn)榉橇愕某?shù)列
是公比為1的等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和數(shù)列{nc}是公差為
的等差數(shù)列，可知q=1。
評(píng)注：注意有些問題的出發(fā)點(diǎn)往往很簡(jiǎn)單，但如果直接計(jì)算則相當(dāng)?shù)穆闊�，可以從特殊值或特殊�?shù)列入手解答問題。
(5)由下列各式：
你能得出怎樣的結(jié)論，并進(jìn)行證明。
分析：對(duì)所給各式進(jìn)行比較觀察，注意各不等式左邊的最后一項(xiàng)的分母特點(diǎn)：
，
，
，
，…，一般地，
第個(gè)式子的最后一項(xiàng)的分母為
，對(duì)應(yīng)各式右端為
。
解：歸納得一般結(jié)論
證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.
當(dāng)n≥2時(shí)，
故結(jié)論得證�！ �
評(píng)注：本題由特殊歸納出一般性的結(jié)論，在歸納時(shí)要總結(jié)每個(gè)式子的特點(diǎn)，隨著序號(hào)發(fā)生怎樣地變化，得出結(jié)論后，又用放縮法給出證明，也可以用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。
(6)．設(shè)二次函數(shù)
滿足條件：
①當(dāng)
時(shí)，
，且
；
②當(dāng)
時(shí)，
③
在
上的最小值為0。
求最大值
，使得存在
，只要
，就有
分析：本題先根據(jù)題設(shè)求出函數(shù)解析式，然后假設(shè)
存在，取得的范圍，再令
求出
的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)的范圍求出的最大值。
解法一：∵，∴函數(shù)的圖象關(guān)于
對(duì)稱
∴
即
由③知當(dāng)時(shí),
，即
；
由①得
，由②得
。
∴
，即
，
又，∴
，
∴
，
假設(shè)存在，只要，就有，
取時(shí)，有
，
對(duì)固定的
，取，有：
，
∴
≤
=9，
當(dāng)
時(shí)，對(duì)任意的
，
恒有
，
∴的最大值為9。
解法二：∵，∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱
∴ 即
由③知當(dāng)時(shí),，即；
由①得
，由②得
。
∴，即，
又，∴，
∴
，
由
在上恒成立
∴
當(dāng)時(shí)，恒成立；
令
有
令有
當(dāng)時(shí)，恒有解；
令得，
，
即當(dāng)時(shí)，任取恒有，
∴
評(píng)注：本題屬于存在性探索問題，處理這道題的方法就是通過
的特殊值得出的大致范圍，然后根據(jù)的范圍，再對(duì)取特殊值，從而解決問題。
6．由一般到特殊和由特殊到一般
例10．(2008湖北卷，理15)觀察下列等式：
……………………………………
可以推測(cè)，當(dāng)
≥2(
)時(shí)，
.，0
分析：本題為找規(guī)律題，可以縱觀全局，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些式子的特點(diǎn)，縱向觀察，找出規(guī)律和共性，得到答案。
解：縱向觀察每個(gè)式子的第一項(xiàng)，
可知
再看每個(gè)式子的第二項(xiàng)，都是
，所以
，同理，
，0
答案：，0
評(píng)注：本題是由特殊到一般，需要觀察歸納總結(jié)規(guī)律。
例11．(2008遼寧卷，理21)在數(shù)列
，
中，a1=2，b1=4，且
成等差數(shù)列，
成等比數(shù)列(
)
(Ⅰ)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
(Ⅱ)證明：
．
分析：由已知條件可先算出前幾項(xiàng)，再歸納總結(jié)，用數(shù)學(xué)歸納法證明。
解：(Ⅰ)由條件得
由此可得
．猜測(cè)
．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即
，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②，可知
對(duì)一切正整數(shù)都成立．
(Ⅱ)
．
n≥2時(shí)，由(Ⅰ)知
．
故
綜上，原不等式成立．
評(píng)注：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．注意不等式的變換技巧。
例12．已知函數(shù)
的圖象如圖所示，則
滿足的關(guān)系是( )
A．
B．
C．
D．
由圖可知函數(shù)為增函數(shù)，所以
取
得，
∴故選A
答案：A
評(píng)注：本題采用數(shù)形結(jié)合，利用取特殊點(diǎn)的辦法解決問題，比較簡(jiǎn)捷。
5．取特殊的點(diǎn)
例9．(2009山東文登三中)已知函數(shù)
，則
的圖象是( )
A B C D
分析：可以根據(jù)已知函數(shù)寫出所研究的函數(shù)，沒有必要畫出函數(shù)圖象，只需取特殊點(diǎn)就可以判斷。
解：由已知得
取特殊值和時(shí)，圖象所過的點(diǎn)為
，結(jié)合圖形知選D。
答案：D
評(píng)注：因?yàn)檫x項(xiàng)中的各圖都有區(qū)別，可以取特殊值加以辨別。
4.取特殊位置
例7.(2008寧夏區(qū)銀川一中)如圖，邊長(zhǎng)為
的正
中線
與中位線
相交于
，已知
是
繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題，其中正確的命題
有 (填上所有正確命題的序號(hào))
(1)動(dòng)點(diǎn)
在平面
上的射影在線段上；
(2)三棱錐
的體積有最大值；
(3)恒有平面
平面
；
(4)異面直線
與
不可能互相垂直；
分析:由于是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形,可以轉(zhuǎn)動(dòng)到特殊位置,需要考慮特殊情況.
解: 不論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),
,(1)(3)正確,(2)
不再變化,當(dāng)高最大時(shí),三棱錐的體積有最大值,即當(dāng)
時(shí), 三棱錐的體積有最大值也正確,(4)不正確,由三垂線定理知,當(dāng)
在平面內(nèi)的射影與
平行時(shí)就一定垂直.
評(píng)注:特殊位置法是解決變化的圖形的一種策略,要想到一些特殊位置.
例8.(福建省八閩高中)某校高三年級(jí)老師到外校參觀學(xué)習(xí)2天，留下6位老師值班，記每天上午、下午、晚上各為一“工作時(shí)”，則每位老師必須且只需值班一個(gè)“工作時(shí)”，由于有事，甲老師不能值晚班，乙老師不能值下午班，那么年級(jí)值班排法共有…………………………………( )
A．288種 B．312種 C．336種 D．360種
分析：甲老師、乙老師都有特殊要求，應(yīng)該先滿足他們的特殊要求先排，如果先排甲老師，則由于他排在上午和下午會(huì)影響到乙老師的排法，所以需要分類討論。
解：先排甲老師有兩種情況，(1)甲老師排在上午值班，有2種方法，乙老師排在晚上值班也有2種方法，其余4位老師有
種方法，共2×2×24=96種方法。(2)甲老師排在下午值班，有2種方法，乙老師與其他4位老師隨便排都可以，有
種方法，共有240種方法；由(1)(2)可知共336種方法。
評(píng)注：本題為排列組合的特殊元素和特殊位置題，按特殊元素和特殊位置優(yōu)先的原則，分情況討論。
3．取特殊數(shù)列
例6.(2008四川卷，理7)已知等比數(shù)列
中
，則其前3項(xiàng)的和
的取值范圍是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
分析：本題中的等比數(shù)列只知道，如果再知道公比，數(shù)列就可以確定，而選項(xiàng)是范圍問題，可取定公比加以排除。
解法一：∵等比數(shù)列中 ∴當(dāng)公比為1時(shí)，
，
；
當(dāng)公比為
時(shí)，
，
從而淘汰(A)(B)(C)
故選D；
解法二：∵等比數(shù)列中 ∴
∴當(dāng)公比
時(shí)，
；
當(dāng)公比
時(shí)，
∴
故選D；
評(píng)注：取特殊數(shù)列入手淘汰，如果一次不能區(qū)分，則需多次取有區(qū)分度的值進(jìn)行排除，直至能辨別出正確答案為止，也可多種方法并存。要重視等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前
項(xiàng)和公式，以及均值不等式的應(yīng)用，特別注重均值不等式使用的條件是否具備，不具備就要進(jìn)行分類討論。
2．取特殊函數(shù)
例4．(2008陜西卷，理11.改編)定義在
上的函數(shù)
滿足
(
)，
，則
等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
分析：由
及，可令
為特殊值，求出
，
再取特值研究函數(shù)的奇偶性；或直接取滿足條件的特殊函數(shù)解答。
解法一：取
，則滿足和，∴
，選D
解法二：中，令
，得
，再令
得
，再令
，得
，令
得，
，再令
，得，選D
評(píng)注:對(duì)于抽象函數(shù)來說,取特殊值和取特殊函數(shù)是常用的方法.
例5.(取特殊函數(shù)的三角題)
1.取特殊數(shù)值
例1．(2008重慶卷,理6)若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意
有
,則下列說法一定正確的是(
)
(A) 為奇函數(shù)(B)為偶函數(shù)(C) 
為奇函數(shù)(D)為偶函數(shù)
分析：判斷函數(shù)的奇偶性需要用定義，即找與
之間的關(guān)系，由于
所以需要先求出
的值，這時(shí)需要取特殊值
解答。
解：令，得
，令
得
∴
，∴為奇函數(shù)，故選
答案：
評(píng)注：在對(duì)于抽象函數(shù)來說，常常通過取特殊值研究函數(shù)的奇偶性。
例2.若
，則下列代數(shù)式中值最大的是
A．
B．
C．
D．
分析：本題比較大小，可以取特殊值，也可以作差比較，還可以用基本不等式或排序不等式。
解法一：特殊值法.取
，通過計(jì)算比較最大。選A
解法二：
解法三：根據(jù)排序不等式知 、 、中，最大，再取特值比較與
答案： A.
評(píng)注：本題中有多種做法，其中取特殊值法最簡(jiǎn)單，最直接。
例3(2008福建德化一中，理)已知對(duì)一切實(shí)數(shù)
都有
，且當(dāng)＞
時(shí)，＜
(1)證明為奇函數(shù)且是上的減函數(shù)；
(2)若關(guān)于的不等式
對(duì)一切
恒成立，求m的取值范圍；
(3)如果
，
，記數(shù)列
的前n項(xiàng)和分別為
，求證
分析：本題中的函數(shù)為抽象函數(shù)，可通過取特殊值研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于的不等式恒成立，有函數(shù)求的最值解答，
(1)證明:依題意取
∴
又取
可得
∴
由x的任意性可知為奇函數(shù)
又設(shè)
∴
∵
∴
∴在R上減函數(shù)
(2)解：∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴由
得
∴
即
又∵是上的減函數(shù) ∴
恒成立
當(dāng)時(shí)，
，故此時(shí)
的最小值為，
∴
(3)∵ ∴
又
，∴數(shù)列
是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴
， 要證明不等式，即是證明
也就是證明
由柯西不等式得
要使不等式取得等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)
，而這是不可能成立的。
∴當(dāng)
時(shí)，
，即
評(píng)注：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性常用取特殊值法，本題較為綜合的考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的單調(diào)性解得不等式及函數(shù)的最值，還有把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列，最終利用柯西不等式證出。
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