5.某種型號的手機自投放市場以來，經(jīng)過兩次降價，單價由原來的2000元降到1280元，則這種手機平均每次降價的百分率是 ( D )
A.10% B.15% C.18% D.20%
4.(2009江西)函數(shù)
的定義域為 ( D )
A．
B．
C．
D．
3.(2004湖北)已知f(
)=
，則f(x)的解析式可取為( )
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 已知函數(shù)
的定義域是
，則實數(shù)a的取值范圍是 ( B
)
A.a＞
B.
C. 
D.
1．(2006湖北)設(shè)
，則
的定義域為
( B )
A. 
B.
C. 
D. 
1.題型的結(jié)構(gòu)與解答特點：
11.預(yù)測題
(1).(2008廣東)已知兩不等的實數(shù)
滿足
則過點
和
的直線與單位圓的位置關(guān)系為(
)
A.相切 B.相離 C.相交 D.不確定
分析:本題給出的是兩個方程,所研究的是直線與圓的位置關(guān)系,,需要兩點確定的直線方程,通過觀察就可以把已知的方程轉(zhuǎn)化為所求直線的方程,從而判斷直線與圓的位置關(guān)系.
解:因為 實數(shù)滿足,所以點和的坐標(biāo)都適合直線
,即兩點確定的直線方程為,原點到此直線的距離為
,所以直線與圓相切.故選A
答案:A
評注:不要直接由兩點式寫方程,要注意觀察并把已知條件轉(zhuǎn)化,減少計算量.
(2).(08屆莆田四中)已知
是
內(nèi)一點,且
若
、
、
的面積分別為
、
, 則
的最小值是( )
A．9 B. 16 C. 18 D. 20
分析:已知條件為向量的數(shù)量積與夾角,可以得到兩邊之積,再由兩邊與夾角求得的面積,另一方面, 的面積又為、、的面積之和
,從而實現(xiàn)了由向量向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化.然后用均值不等式求得最值.
解:∵∴
,∴
,又因為的面積為、、的面積之和,∴得
當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號.故選C.
答案:C
評注:本題完成了由向量向函數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化,進而又轉(zhuǎn)化為用均值不等式求最值.做題時要注意條件的聯(lián)系性和化歸的數(shù)學(xué)思想.
(3)(寧夏銀川一中)
|
項和是
|
A．
B．
C．
D．
分析:把題目中的函數(shù)求出,得到解析式,從而轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項與前
項的和.
解: 由函數(shù)知
,所以
, 所以
,項和為
=,故選C.
答案:C
評注:本題中給出的已知
條件是函數(shù)與導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)確定原函數(shù),從而求得數(shù)列的通項公式,然后求出前項的和.
(4)(江蘇省鹽城中學(xué))求直線
(
)被曲線
所截的弦長.
分析:本題給出的是參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程,要求弦長,就要轉(zhuǎn)化為普通方程.
解:將方程,
分別化為普通方程：
，
評注:對于參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的方程,可以直接求解,也可以轉(zhuǎn)化為普通方程求解出.
(5).(原創(chuàng))設(shè)函數(shù)
,若
,則點
所形成的區(qū)域的面積為 ( )
A.
B. 
C. 
D. 
分析:首先分析由所確定的平面區(qū)域,再根據(jù)區(qū)域的形狀求其面積.
解:由
,得
,即
,所表示的區(qū)域為以
為圓心,以
為半徑的圓面.由
,
得
,即
,所表示的區(qū)域為直線
的左下方.故點所形成的區(qū)域如圖陰影部分所示.
到直線的距離為
,又
,故
,
,對應(yīng)的圓心角角為
,扇形ABC的面積為
;
又
的面積為
,故陰影部分的面積為.即點所形成的區(qū)域的面積為.選D.
評注:考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點到直線的距離,一元二次方程表示平面區(qū)域,扇形的面積以及函數(shù)的表示等知識.考查運算能力和化歸思想.函數(shù),不等式的內(nèi)容都是比較容易與其它知識相結(jié)合的知識點,本題在形式上是函數(shù)和不等式問題,但剖析之后可以發(fā)現(xiàn),其實質(zhì)是圓與線性規(guī)劃相結(jié)合的問題.高考中,知識的交匯試題是主流,很多題目都是以一個知識點為載體考查另一個知識點,解題時一定要善于分析,透過表面看透問題的實質(zhì),從而合理轉(zhuǎn)化,尋求問題的解決途徑.
(6).(原創(chuàng))已知過點(0,3)的直線
與函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)的圖象交于
兩點, ,且
,其中
(1)求直線的方程,并求
的長.
(2)問若
，問實數(shù)m取何值時，使得的圖象恒在
的圖象的上方？
分析:根據(jù)求導(dǎo)公式,將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的位置關(guān)系問題,通過解方程組,由韋達定理和向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算,利用待定系數(shù)法求解.
解: 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為
,其圖象為開口向上的拋物線, 因為直線過點(0,3), 與拋物線交于兩點,所以直線的斜率存在,設(shè)為
,則直線的方程為
,解方程組
消去
得：
，△
，方程組有兩解，設(shè)
，則
，
，∴
，
∵,∴
，
又∵ ∴
，
即
，∴
，
即
∴
或
，
①當(dāng)時，直線的方程為
，
此時，
，
，=
=
.
②當(dāng)時，直線的方程為
，此時，
，
，==
.
(2)設(shè)
，定義域為
則
，令
，得
，
∴當(dāng)
時，
，為減函數(shù)；
當(dāng)
時，
，為增函數(shù)；∴當(dāng)時，最小，最小值為
，∴要使得的圖象恒在的圖象的上方，需使最小值>0,即
評注:考查函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值, 向量的數(shù)量積, 考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查利用韋達定理計算弦長等綜合運算求解能力.本題通過函數(shù)求導(dǎo),把問題轉(zhuǎn)化為研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,并把兩曲線的位置關(guān)系的討論轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的綜合性題目.做題時要仔細(xì)審題,逐步翻譯,求解直線或圓錐曲線的方程時往往要先設(shè)后求,利用待定系數(shù)法和解方程組法由韋達定理解答.在解答問題時要注意直線的斜率是否存在,解方程組時,判別式是否大于0,函數(shù)的定義域等這些細(xì)節(jié)問題.
10.立體問題轉(zhuǎn)化為平面(向量)問題
例17.(2008江蘇海頭高級中學(xué))如圖，有一圓柱形的開口容器(下表面密封)，其軸截面是邊長為2的正方形，P是BC中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的最短路程為__ _ ．
分析：研究最短距離，需要把立體圖展為平面圖，由兩點間的線段最短，求線段的長。
解：把圓柱側(cè)面展開，并把里面也展開，如圖所示，則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的
最短路程為展開圖中的線段
，則
答案：
評注：研究立體問題常常以平面為基準(zhǔn)，把立體問題
轉(zhuǎn)化為平面問題，把曲線問題轉(zhuǎn)化為直線問題，
這是解決問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想。
例18.(2008年安徽卷，理18)如圖，在四棱錐
中，
底面
四邊長為1的菱形，
, 
,
,
為
的中點，
為
的中點
(Ⅰ)證明：直線
；
(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大�。�
(Ⅲ)求點B到平面OCD的距離。
分析：要證線面平行,可以在面內(nèi)找
的平行線,取
的中點,通過線線平行證出,也可以找平面的平行平面通過面面平行證出; 異面直線AB與MD所成角可以通過平移轉(zhuǎn)化為平面角求出;而(Ⅲ)中點B到平面OCD的距離不易找出,可以利用線
轉(zhuǎn)化為點A到平面OCD的距離求出.還可以用向量法通過計算解答各題.
解法一：(綜合法) (1)取OB中點E，連接ME，NE
又
(2)
為異面直線
與
所成的角(或其補角)
作
連接
所以 與所成角的大小為
(3)
點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作
于點Q，
又 
,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離
，
，所以點B到平面OCD的距離為
解法二.(向量法)作
于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為
軸建立坐標(biāo)系
(1)
設(shè)平面OCD的法向量為
,則
即
取
,解得
(2)設(shè)與所成的角為
,
, 與所成角的大小為
(3)設(shè)點B到平面OCD的距離為
,則為
在向量
上的投影的絕對值,
由 
, 得
.所以點B到平面OCD的距離為
評注:立體幾何問題一般都可以用兩種方法綜合法和向量法.都要經(jīng)過轉(zhuǎn)化,把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題,將空間問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算從而證得求出.
例19.(2008山東卷，理20)如圖，已知四棱錐
，底面為菱形，
平面，
，
分別是
的中點．
(Ⅰ)證明：
；
(Ⅱ)若
為
上的動點，
與平面
所成
最大角的正切值為
，求二面角
的余弦值．
分析：比較容易證出,可以轉(zhuǎn)化為線面垂直證明出, (Ⅱ)的點為上的動點,而且與平面所成最大角不太容易找到,根據(jù)(Ⅰ)就要轉(zhuǎn)化為
點到
的距離最短,然后求出確定位置.另外,對于點的位置不確定而且比較容易建立直角坐標(biāo)系時,用坐標(biāo)計算比較簡單。
解:(Ⅰ)證明：由四邊形為菱形，，可得
為正三角形．
因為
為的中點，所以
．又
，因此
．
因為平面，
平面，所以
．
而
平面，
平面且
，
所以
平面．又
平面，所以．
(Ⅱ)解：設(shè)
，為上任意一點，連接
．
由(Ⅰ)知平面，則
為與平面所成的角．
在
中，
，所以當(dāng)
最短時，最大，
即當(dāng)
時，最大．此時
，
因此
．又
，所以
，所以
．
解法一：因為平面，平面
，所以平面
平面．
過作
于
，則
平面，過作
于
，連接
，則
為二面角的平面角，在
中，
，
，又
是
的中點，在
中，
，
又
，在
中，
，即所求二面角的余弦值為
．
解法二：由(Ⅰ)知
兩兩垂直，以
為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點，所以
，
，所以
．
設(shè)平面
的一法向量為
，
則
因此
取
，則
，因為
，
，
，
所以
平面
，故
為平面的一法向量．又
，
所以
．因為二面角為銳角，
所以所求二面角的余弦值為．
評注：本題為探索性問題，難度比較大。特別是在使用線面角時不易找出。這就需要我們耐心分析，仔細(xì)體會前后問之間的關(guān)系，能否打通思路，把問題進行適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，做到立體問題平面化，幾何問題代數(shù)化，利用化歸思想解答問題。
9．平面向量、解析幾何中的化歸思想
例15.(2008全國Ⅰ，理10)若直線
通過點
，則( )
A．
B．
C．
D．
分析：點是單位圓上的點，，則可以通過直線與單位圓的位置關(guān)系來轉(zhuǎn)化。，當(dāng)然也可以把直線看作等式或看作向量的數(shù)量積來解答。
解法一：由題意知直線與圓
有交點，則
.
解法二：設(shè)向量
，由題意知
由
可得
答案: D
評注：本題中的兩種方法都是把已知條件進行了轉(zhuǎn)化，利用化歸的思想解決問題不適為捷徑，方法比較活躍，知識連接成網(wǎng)，這要靠我們平時積累和總結(jié)。
例16.(全國Ⅱ，理21)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，
是它的兩個頂點，直線
與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
(Ⅰ)若
，求
的值；
(Ⅱ)求四邊形
面積的最大值．
分析：本題中涉及到的點比較多，其中
都在直線上，(Ⅰ)中的向量要用點的坐標(biāo)表示出，所以可以先設(shè)出各點的坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程解出，(Ⅱ)中的四邊形面積可以轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積求出，可以都以
為公共邊，也可以以
為公共邊求出。
(Ⅰ)解：依題設(shè)得橢圓的方程為
，
直線
的方程分別為
，
．
如圖，設(shè)
，其中
，
且
滿足方程
，故
．①
由知
，得
；
由
在上知
，得
．所以
，
化簡得
，解得
或
．
(Ⅱ)解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為
，
．
，所以四邊形的面積為
，
當(dāng)
，即當(dāng)
時，上式取等號．所以的最大值為
．
解法二：由題設(shè)，
，
．設(shè)
，
，由①得
，
，
故四邊形的面積為
，
當(dāng)
時，上式取等號．所以的最大值為．
評注：解析幾何中的問題常常與向量、函數(shù)、方程、不等式等問題相聯(lián)系，進行轉(zhuǎn)化解答。
8．?dāng)?shù)列問題的轉(zhuǎn)化
例13．(2009萊陽高三理)若數(shù)列
滿足
，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列。已知數(shù)列
為調(diào)和數(shù)列，且
，則
。
分析：根據(jù)調(diào)和數(shù)列的定義，可以看出其倒數(shù)數(shù)列符合等差數(shù)列的定義，由此可以轉(zhuǎn)化，利用等差數(shù)列的定義求出前
項和。
解：根據(jù)調(diào)和數(shù)列的定義知：數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，則，也就是數(shù)列
為等差數(shù)列，現(xiàn)在數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，則數(shù)列
為等差數(shù)列，那么由，得
，20
答案：20
評注：本題為新定義題，但也不要被表象所迷惑，通過現(xiàn)象看本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的特殊數(shù)列等差數(shù)列進一步解答，此題中注意角色的變化，數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵。
例14．(2008陜西卷，文20)已知數(shù)列
的首項
，
，
…．
(Ⅰ)證明：數(shù)列
是等比數(shù)列；(Ⅱ)數(shù)列
的前
項和
．
分析：對于證明數(shù)列為等比數(shù)列，要按定義證明，但證明完后也提示我們下一步要用等比數(shù)列求出數(shù)列的通項公式，然后進一步判斷數(shù)列的類型，從而求出其前項和。
解：(Ⅰ)
，
，
，又，
，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，即
，
．
設(shè)
…
， ①
則
…
，②
由①
②得
…
，
．又
…
．
數(shù)列的前項和
評注：解決數(shù)列問題就要判斷是否為等差、等比數(shù)列，如果不是，那么能否構(gòu)造新數(shù)列為特殊數(shù)列，注意轉(zhuǎn)換角色，把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的特殊數(shù)列問題和研究方法解答。
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