3．直線
的右支交于不同的兩點A、B.
(1)求實數(shù)
的取值范圍；
(2)是否存在實數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
2．制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目. 根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損分別為30﹪和10﹪. 投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確�？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元. 問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？
1．過拋物線
2=4
的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.
(1)設(shè)點P分有向線段
所成的比為
，證明:
；
(2)設(shè)直線AB的方程是-2+12=0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.
[例1]已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=
(0<<1)，以AB為直腰作直角梯形
，使
垂直且等于AT，使
垂直且等于BT，
交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.
(1)寫出直線的方程；
(2)計算出點P、Q的坐標；
(3)證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q.
解: (1 ) 顯然
, 
于是 直線的方程為
；
(2)由方程組
解出 
、
；
(3)
, 
.
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反射光線通過點Q.
[例2]設(shè)P是圓M：(-5)2+(-5)2=1上的動點，它關(guān)于A(9, 0)的對稱點為Q，把P繞原點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到點S，求|SQ|的最值.
解：設(shè)P(,)，則Q(18-,
-)，記P點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為+
，則S點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為： (+)·=-+，即S(-,
)
∴
其中
可以看作是點P到定點B(9, -9)的距離，共最大值為
最小值為
，則
|SQ|的最大值為
，|SQ|的最小值為
.
[例4]已知兩點M(-1，0)，N(1，0)且點P使
成公差小于零的等差數(shù)列，
(1)點P的軌跡是什么曲線？
(2)若點P坐標為
，
為
的夾角，求tanθ.
解：(1)記P(, )，由M(-1，0)N(1，0)得
所以 
于是， 是公差小于零的等差數(shù)列等價于
即 
所以，點P的軌跡是以原點為圓心，
為半徑的右半圓.
(2)點P的坐標為。
.
因為 0〈
，
所以
.
[例4]艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈.設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是
千米/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？
分析：答好本題，除要準確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上)，還應(yīng)對方位角的概念掌握清楚.
技巧與方法：通過建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼�，將實際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.
解：取AB所在直線為軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為(3，0)、(－3，0)、(－5，2
).
由于B、C同時發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為－3+7=0.
又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在雙曲線
=1的右支上.
直線與雙曲線的交點為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.
據(jù)已知兩點的斜率公式，得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°.
設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則
,
∴sin2θ=
,∴仰角θ=30°.
答：方位角北偏東300，仰角30°.
解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.
(1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域.
(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.
[例5]已知拋物線C：2=4.
(1)若橢圓左焦點及相應(yīng)的準線與拋物線C的焦點F及準線
分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；
(2)若M(m,0)是軸上的一定點，Q是(1)所求軌跡上任一點，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.
解：由拋物線2=4,得焦點F(1,0),準線：=－1.
(1)設(shè)P(,)，則B(2－1,2),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=
,又設(shè)點B到的距離為
,則|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即(2－2)2+(2)2=2(2－2),化簡得P點軌跡方程為2=－1(＞1).
(2)設(shè)Q(,y),則
|MQ|=
(ⅰ)當m－
≤1,即m≤
時，函數(shù)=[－(m－)2]+m－
在(1，+∞)上遞增，故無最小值，亦即|MQ|無最小值.
(ⅱ)當m－＞1,即m＞時，函數(shù)=[2－(m－)2]+m－在=m－處有最小值m－,∴|MQ|min=
.
[例6]已知拋物線C的對稱軸與軸平行，頂點到原點的距離為5.若將拋物線C向上平移3個單位，則在軸上截得的線段長為原拋物線C在軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個單位，則所得拋物線過原點，求拋物線C的方程.
解:設(shè)所求拋物線方程為(-
)2=
(-)(
∈R, ≠0) ①
由①的頂點到原點的距離為5，得
=5 ②
在①中，令=0，得2-2+2+=0。設(shè)方程的二根為1,2，則
|1-2|=2
.
將拋物線①向上平移3個單位，得拋物線的方程為
(-h)2=(--3)
令=0，得2-2+2++3=0。設(shè)方程的二根為3,4，則
|3-4|=2
.
依題意得2=
·2，
即 4(+3)= ③
將拋物線①向左平移1個單位，得(-+1)2=(-),
由拋物線過原點，得(1-)2=- ④
由②③④得=1，=3, =-4或=4，=-3, =-4.
∴所求拋物線方程為(-3)2=+4，或(+3)2=4(+4).
2. ⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程時，要分清焦點在軸上還是軸上，還是兩種都存在.
⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運用，熟練地進行、b、
、間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.
⑶求雙曲線的標準方程 應(yīng)注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設(shè)出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.
⑷雙曲線
的漸近線方程為
或表示為
.若已知雙曲線的漸近線方程是
，即
，那么雙曲線的方程具有以下形式：
，其中是一個不為零的常數(shù).
⑸雙曲線的標準方程有兩個和
(＞0，b＞0).這里
，其中|
|=2c.要注意這里的、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.
⑹求拋物線的標準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再求拋物線的標準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再由條件確定參數(shù)
的值.同時，應(yīng)明確拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個.
1． ⑴ 直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率反映了直線相對于軸的傾斜程度.當斜率存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當斜率不存在時，直線方程為=(∈R).因此，利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率存在與否，要分別考慮.
⑵ 直線的截距式是兩點式的特例，、b分別是直線在軸、軸上的截距，因為≠0，b≠0，所以當直線平行于軸、平行于軸或直線經(jīng)過原點，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.
⑶求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.
⑷當直線
或
的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直
⑸在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運用，這樣可以簡化計算.
(三)目標
1.能正確導(dǎo)出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當?shù)姆匠绦问綄懗鲋本�的方程，熟練地進行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的問題了.
2.能正確畫出二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線性規(guī)劃方法解決一些實際問題.
3.理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.
4．掌握圓的標準方程：
(r＞0)，明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心坐標和半徑，掌握圓的一般方程：
，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進行一般方程和標準方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程
(θ為參數(shù))，明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.
5．正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標準方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標準方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率、準線(雙曲線的漸近線)等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握、b、、、之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.
(二)圓錐曲線方程
1． 掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).
2． 掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).
3． 掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).
4．了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.
(一)直線和圓的方程
1．理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.
2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.
3．了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.
4．了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.
5．了解解析幾何的基本思想，了解坐標法.
6．掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.
6.已知橢圓
=1(a＞b＞0),點P為其上一點，F1、F2為橢圓的焦點，∠F1PF2的外角平分線為，點F2關(guān)于的對稱點為Q，F2Q交于點R.
(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
(2)設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+
a)與曲線C相交于A、B兩點，當△AOB的面積取得最大值時，求k的值.
§7．5綜合問題選講
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