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2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：， ()

1．橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(定長大于兩定點(diǎn)間的距離)的動點(diǎn)的軌跡.

5.如圖，已知圓C：(x+4)²+y²=4。圓D的圓心D在y軸上且與圓C外切。圓 D與y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為(-3，0).

(1)若點(diǎn)D坐標(biāo)為(0，3)，求∠APB的正切值；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在y軸上運(yùn)動時，求∠APB的正切值的最大值；

(3)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，當(dāng)圓D在y軸上運(yùn)動時，∠AQB是定值？如果存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.

§7.2圓錐曲線

4.設(shè)正方形ABCD(A、B、C、D順時針排列)的外接圓方程為x²+y²-6x+a=0(a<9)，C、D點(diǎn)所在直線l的斜率為.

(1)求外接圓圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)及正方形對角線AC、BD的斜率；

(2)如果在x軸上方的A、B兩點(diǎn)在一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程；

(3)如果ABCD的外接圓半徑為2，在x軸上方的A、B兩點(diǎn)在一條以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程.

3. 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x-2)²+y²＝3，則的最大值為：　　　　　　　 .

2.已知直線x=a(a＞0)和圓(x-1)²+y²=4相切 ，那么a的值是(　　 )

A.5　 　　B.4 　　　C.3 　　　D.2

1．直線截圓得的劣弧所對的圓心角為　　 (　　　 )

　　 A.　　B.　　　　C.　　　　D.

［例1］直線l經(jīng)過P(2,3),且在x,y軸上的截距相等,試求該直線方程.

錯解：設(shè)直線方程為:,又過P(2,3),∴,求得a=5

　　　　 ∴直線方程為x+y-5=0.

錯因：直線方程的截距式: 的條件是:≠0且b≠0,本題忽略了這一情形.

正解：在原解的基礎(chǔ)上,再補(bǔ)充這樣的過程:當(dāng)直線過(0,0)時,此時斜率為:,

∴直線方程為y=x

綜上可得:所求直線方程為x+y-5=0或y=x .

［例2］已知動點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的3倍等于它到點(diǎn)A(1,3)的距離的平方,求動點(diǎn)P的軌跡方程.

錯解：設(shè)動點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y).由已知3

　　　　 化簡3=x²-2x+1+y²-6y+9 .

　　　　 當(dāng)x≥0時得x²-5x+y²-6y+10=0 .　 ①

當(dāng)x＜0時得x²+ x+y²-6y+10=0 .　 ②

錯因：上述過程清楚點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的意義及兩點(diǎn)間距離公式,并且正確應(yīng)用絕對值定義將方程分類化簡,但進(jìn)一步研究化簡后的兩個方程,配方后得

(x-)²+(y-3)² = 　①　　 和　 (x+)²+(y-3)² = - �、�

兩個平方數(shù)之和不可能為負(fù)數(shù),故方程②的情況不會出現(xiàn).

正解：　接前面的過程,∵方程①化為(x-)²+(y-3)² = ,方程②化為(x+)²+(y-3)² = - ,由于兩個平方數(shù)之和不可能為負(fù)數(shù),故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為: (x-)²+(y-3)² = (x≥0)

［例3］m是什么數(shù)時，關(guān)于x,y的方程(2m²+m-1)x²+(m²-m+2)y²+m+2=0的圖象表示一個圓？

錯解：欲使方程Ax²+Cy²+F=0表示一個圓，只要A=C≠0，

　　　　 得2m²+m-1=m²-m+2，即m²+2m-3=0，解得m₁=1，m₂=-3，

　　　　 ∴當(dāng)m=1或m=-3時，x²和y²項(xiàng)的系數(shù)相等，這時，原方程的圖象表示一個圓

錯因：A=C，是Ax²+Cy²+F=0表示圓的必要條件，而非充要條件，其充要條件是：

A=C≠0且＜0.

正解：欲使方程Ax²+Cy²+F=0表示一個圓，只要A=C≠0，

　　　　 得2m²+m-1=m²-m+2，即m²+2m-3=0，解得m₁=1，m₂=-3，

(1)　　　　　 當(dāng)m=1時，方程為2x²+2y²=-3不合題意，舍去.

(2)　　　　　 當(dāng)m=-3時，方程為14x²+14y²=1,即x²+y²=,原方程的圖形表示圓.

［例4］自點(diǎn)A(-3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x²+y²-4x-4y+7＝0相切，求光線L所在的直線方程.

錯解：設(shè)反射光線為L′,由于L和L′關(guān)于x軸對稱，L過點(diǎn)A(-3，3)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(-3，-3)，于是L′過A(-3，-3).

　設(shè)L′的斜率為k，則L′的方程為y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

已知圓方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圓心O的坐標(biāo)為(2，2)，半徑r＝1

因L′和已知圓相切，則O到L′的距離等于半徑r＝1

　即

　整理得12k²-25k+12＝0

解得k＝　L′的方程為y+3＝(x+3)

　即4x-3y+3＝0　因L和L′關(guān)于x軸對稱

　故L的方程為4x+3y+3＝0.

錯因：漏解

正解：設(shè)反射光線為L′,由于L和L′關(guān)于x軸對稱，L過點(diǎn)A(-3，3)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(-3，-3)，　于是L′過A(-3，-3).

　設(shè)L′的斜率為k，則L′的方程為y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

　已知圓方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圓心O的坐標(biāo)為(2，2)，半徑r＝1

　因L′和已知圓相切，則O到L′的距離等于半徑r＝1

　即

　整理得12k²-25k+12＝0

　解得k＝或k＝

　L′的方程為y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。

　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0

　因L和L′關(guān)于x軸對稱

　故L的方程為4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.

［例5］求過直線和圓的交點(diǎn)，且滿足下列條件之一的圓的方程：

(1)　　　　　　　　 過原點(diǎn)；(2)有最小面積.

解：設(shè)所求圓的方程是：

　　　　　　　　 即：

(1)因?yàn)閳A過原點(diǎn)，所以，即

故所求圓的方程為：.

(2)　　　　　　　　　　　 將圓系方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，有：

當(dāng)其半徑最小時，圓的面積最小，此時為所求.

故滿足條件的圓的方程是.

點(diǎn)評：(1)直線和圓相交問題，這里應(yīng)用了曲線系方程，這種解法比較方便；當(dāng)然也可以待定系數(shù)法。(2)面積最小時即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線與相交弦為直徑時圓面積最小.

［例6］(06年遼寧理科)已知點(diǎn)A()，B()(≠0)是拋物線上的兩個動點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足｜｜＝｜｜.設(shè)圓C的方程為

(1)證明線段AB是圓C的直徑；

(2)當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值.

解：(1)證明　∵｜｜＝｜｜，∴()²＝()²，

　整理得：＝0　∴+＝0

設(shè)M()是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則＝0

即　+＝0

整理得：

故線段AB是圓C的直徑.

(2)設(shè)圓C的圓心為C()，則

∵，

∴

又∵+＝0　，＝－

∴－

∵≠0，∴≠0

∴＝－4

�。�

所以圓心的軌跡方程為

設(shè)圓心C到直線的距離為d，則

＝

當(dāng)＝時，d有最小值，由題設(shè)得＝

∴＝2.

2．兩圓的位置關(guān)系的判定方法.

設(shè)兩圓圓心分別為O₁、O₂，半徑分別為₁，₂，|O₁O₂|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：

|O₁O₂|>₁+₂兩圓外離；

|O₁O₂|=₁+₂兩圓外切；

| ₁-₂|<|O₁O₂|<₁+₂兩圓相交；

| O₁O₂ |=|₁-₂|兩圓內(nèi)切；

0<| O₁O₂|<| ₁-₂|兩圓內(nèi)含.

1．直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.

(1)方法一　直線：；圓：.

一元二次方程

(2)方法二　直線: ；圓：，圓心(，b)到直線的距離為

d=