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1、　 數(shù)的分類：

6、　 歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法。數(shù)學(xué)歸納法：是證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行的演繹推理，所得結(jié)論一般是正確的。是不完全歸納法的一種。

數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是：(1)驗(yàn)證時(shí)，結(jié)論正確，是使命題成立的最自然數(shù)。(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立，(3)作結(jié)論，由(1)(2)知命題成立。

第二十二講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

5、　 反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立。這種方法叫反證法，它是間接證明的基本方法。反證法的一般步驟是：(1)反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立即結(jié)論的反面成立，(2)歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾＿＿＿與已知條件、已知公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾。(3)結(jié)論：肯定原命題成立。

宜用反證法的題型有：(1)一些基本命題，一些基本定理，(2)：“否定性”命題，(3)“惟一性”命題，(4)“至多”“至少”類命題，(5)涉及“無限”結(jié)論的命題。

4、　 分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止。又叫逆推證法或執(zhí)因索果法。

3、　 綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立。又叫由因?qū)Ч�法或順推證法。

2、　 演繹推理：從一般性的原理，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論。是從一般到特殊的推理�！叭�段論”是演繹推理的一般模式，它包括：(1)大前提＿＿＿已知的一般原理。(2)小前提＿＿＿所研究的特殊情況。(3)結(jié)論＿＿根據(jù)一般原理對特殊情況做出的判斷。演繹推理是一個(gè)必然性的推理，演繹推理產(chǎn)前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系，只要大前提、小前提都是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必是真實(shí)的。但錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論，推理的形式不對也會導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。

1、　 合情推理最常見的是歸納和類比。由某類事物的部分對象具有某些特征推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理�；蛘哂蓚�(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡言之是從部分到整體，從個(gè)別到一般的推理。由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理。類比推理是從特殊到特殊的推理。

練習(xí)：(1)、觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是，按此規(guī)律推出：當(dāng)時(shí)，與的關(guān)系式　　 .key：

(2)、觀察下式：1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²，4+5+6+7+8+9+10=7²，…，則可得出一般結(jié)論：　　　 .key：

(3)類比平面內(nèi)的直角三角形的性質(zhì)猜想空間中的類似定理。

13、定積分：(1).直線和直線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形。

(2).　定積分概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x₀<x₁<…<x_i－1<x_i<…x_n＝b把區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[x_i－1，x_i]上取任一點(diǎn)ξ_i(i＝1，2，…n)作和式I_n＝(ξ_i)△x(其中△x為小區(qū)間長度)，把n→∞即△x→0時(shí)，和式I_n的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分。記作：，即＝(ξ_i)△x。

這里，a與b分別叫做定積分的下限與上限。區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。

(3).定積分的性質(zhì)：

①(k為常數(shù))；

②；

③(其中a＜c＜b。

當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形的面積等于位于x軸下方的曲邊梯形的面積時(shí)，定積分的值為0。

(4)定積分的計(jì)算：如果f(x)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且那么 F(b)-F(a)。這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理。又叫萊面尼茲公式。

為了方便，我們常常把F(b)-F(a)記成

(5).定積分求曲邊梯形面積

由三條直線x＝a，x＝b(a<b)，x軸及一條曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯的面積

如果圖形由曲線y₁＝f₁(x)，y₂＝f₂(x)，及直線x＝a，x＝b(a<b)圍成，那么所求圖形的面積

.在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫出它的草圖，通過解方程組確定相應(yīng)的積分區(qū)間。

(6)定積分的物理應(yīng)用：.物體做變速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的位移s等于其速度函數(shù)v=v(t)在時(shí)間區(qū)間上的定積分。

如果物體沿與變力F(x)相同的方向移動(dòng)，那么從位置x=a到x=b變力所做的功

第二十一講推理與證明

12、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)的最大值和最小值問題：

求極值、最值步驟:求導(dǎo)數(shù);求的根;檢驗(yàn)在根左右兩側(cè)符號,若左正右負(fù),則f(x)在該根處取極大值;若左負(fù)右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值. 如：(1)函數(shù)在[0，3]上的最大值、最小值分別是______(答：5；)；(2)已知函數(shù)在區(qū)間[－1,2 ]上是減函數(shù)，那么b+c有最__值__答：大，)(3)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為__(答：1)

特別提醒：(1)是極值點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件。(2)給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點(diǎn)一定要切記！如：函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為____(答：－7)

11、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)的極值問題：(1)、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x附近有定義，如果對x附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x)，就說是f(x)函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值。記作＝f(x)，如果對x附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x)，就說是f(x)函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。記作＝f(x)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。

(2)、當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)時(shí)，(1)如果在點(diǎn)x附近左側(cè)＞0，右側(cè)＜0，則f(x)是極大值，x是極大值點(diǎn)。(2)如果在點(diǎn)x附近左側(cè)＜0，右側(cè)＞0，則f(x)是極小值，x是極小值點(diǎn)。(3)x是極值點(diǎn)的充要條件是x點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是＝0，＝0是x為極值點(diǎn)的既不必要而不充分條件。

如但對可導(dǎo)函數(shù)＝0是x為極值點(diǎn)的必要而不充分條件。