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例1 已知函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn)

則　　　　 .

解:

∴

例2 求在附近的平均變化率.

解:

所以

　 　所以在附近的平均變化率為

(二)平均變化率概念

1.上述問題中的變化率可用式子表示,

稱為函數(shù)從到的平均變化率.

2.若設(shè), (這里看作是對(duì)于的一個(gè)“增量”可用代替,同樣)

則平均變化率為

思考: 觀察函數(shù)的圖象

平均變化率表示什么?

(一)問題提出

問題1 氣球膨脹率

　　 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

氣球的體積(單位:)與半徑(單位:)之間的函數(shù)關(guān)系是

如果將半徑表示為體積的函數(shù),那么

分析:

(1)當(dāng)從增加到時(shí),氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為

(2)當(dāng)從增加到時(shí),氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為

可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了.

思考: 當(dāng)空氣容量從V₁增加到V₂時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?

問題2 高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位:)與起跳后的時(shí)間(單位:)存在函數(shù)關(guān)系.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?

思考計(jì)算: 和的平均速度

在這段時(shí)間里,

在這段時(shí)間里,

探究: 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度,并思考以下問題:

(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程: 如圖是函數(shù)的圖像,

結(jié)合圖形可知,,所以

雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為,

但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng),并非靜止,

可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工具.

導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題:研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度.

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn)象,在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù),隨著對(duì)函數(shù)的研究,產(chǎn)生了微積分,微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān):