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2．涉及弦的中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用“點差法”，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．

1．解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，一般是消元得到一元二次方程，再討論二次項的系數(shù)和判別式Δ，有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便．

[例1]求過點(0，2)的直線被橢圓x²+2y²＝2所截弦的中點的軌跡方程．

解：設(shè)直線方程為y=kx+2，

把它代入x²+2y²＝2，

整理得(2k²+1)x²+8kx+6=0．

要使直線和橢圓有兩個不同交點，則Δ＞0，即k＜－或k＞．

設(shè)直線與橢圓兩個交點為A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，中點坐標為C(x，y)，則

x＝＝，

y= +2＝．

(k＜－或k＞)，

y=　

消去k得x²+2(y－1)²＝2，

且｜x｜＜，0＜y＜．

[例2](2005江西文)

如圖，M是拋物線上y²=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB．

　 (1)若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；

　 (2)若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程．

解：(1)設(shè)M(y,y₀)，直線ME的斜率為k(l>0)

則直線MF的斜率為－k，

消

所以直線EF的斜率為定值

(2)

同理可得

設(shè)重心G(x, y)，則有

[例3](2006浙江)如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)與過點A(2，0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=．　　　 (Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點，M為線段的中點，求證：∠ATM=∠AFT．

解：(I)過點、的直線方程為

因為由題意得　 　　有惟一解，

即有惟一解，

所以

　 ()，

故　

又因為 即　

所以　

從而得　

故所求的橢圓方程為　　

(II)由(I)得　 故

從而

由

解得所以

因為

又得

因此

[例4]已知橢圓C：+＝1(a＞b＞0)，兩個焦點分別為F₁和F₂，斜率為k的直線l過右焦點F₂且與橢圓交于A、B兩點，設(shè)l與y軸交點為P，線段PF₂的中點恰為B．

(1)若｜k｜≤，求橢圓C的離心率的取值范圍；

(2)若k=，A、B到右準線距離之和為，求橢圓C的方程．

解：(1)設(shè)右焦點F₂(c，0)，則l：y=k(x－c)．

令x=0，則y=－ck，∴P(0，－ck)．

∵B為F₂P的中點，∴B(，－)．

∵B在橢圓上，∴+＝1．

∴k²＝·＝(－1)(4－e²)

＝+e²－5．

∵｜k｜≤，∴+e²－5≤．

∴(5e²－4)(e²－5)≤0．

∴≤e²＜1．∴≤e＜1．

(2)k＝，∴e＝．∴＝．

∴a²＝c²，b²＝c²．橢圓方程為+＝1，即x²+5y²＝c²．

直線l方程為y=(x－c)，

B(，－c)，右準線為x=c．

設(shè)A(x₀，y₀)，則

(c－x₀)+(c－)＝，

∴x₀＝2c－，y₀＝(c－)．

∵A在橢圓上，

∴(2c－)²+5［(c－)］²＝c²．

解之得c=2或c＝(不合題意，舍去)．

∴橢圓方程為x²+5y²＝5，即+y²＝1．

[研討．欣賞](2006山東)雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線為C的一條漸近線。

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點的直線，交雙曲線C于A、B兩點，交軸于Q點(Q點與C的頂點不重合)，當，且時，求點的坐標。

解：(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為

　　 由橢圓 求得兩焦點為，

對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線

　 解得 ，

雙曲線的方程為

(Ⅱ)解法一：

由題意知直線的斜率存在且不等于零。

設(shè)的方程：，

則

在雙曲線上，

同理有：

若則直線過頂點，不合題意．

是二次方程的兩根．

，

此時．

所求的坐標為．

解法二：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程，，則．

，

分的比為．

由定比分點坐標公式得

下同解法一

解法三：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程：，則．

，

．

，

，，

又，

即

將代入得

，否則與漸近線平行。

。

解法四：

由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，

則

,

。

同理　　　

．

即　　 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

又　　

消去y得．

當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。

由韋達定理有：

代入(*)式得　　

所求Q點的坐標為。

6．設(shè)P(x₀，y₀)則d₁·d₂=·==

6．雙曲線－=1(a＞0，b＞0)上任意一點到它的兩條漸近線的距離之積等于________．

．

簡答：1-3。CAC; 4． 32;　 5． 作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

所以，；

5．(2006上海) 若曲線＝||+1與直線＝+沒有公共點，則、分別應(yīng)滿足的條件是 　　　　　　　　　　

4．(2006山東)已知拋物線，過點的直線與拋物線相交于兩點，則的最小值是　　　　　　 。

3．(2006福建)已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(　 )

　　　 (A)　　　　 (B)　　　 (C)　　(D)

2．(2006全國Ⅰ)拋物線上的點到直線距離的最小值是　 (　 )

A　 　　　　　　　　B　 　　　　　　C 　　　　　　　　D

1．(2004全國I)設(shè)拋物線y²=8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l 的斜率的取值范圍是　　 (　　 )

　　　 A．[－，]　　　　 B．[－2，2]　　　　　　 C．[－1，1]　　　　　　 D．[－4，4]