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19．(江蘇16)(本小題滿分14分)

如圖，在直三棱柱中，_、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，_。

求證：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面平面.

[解析] 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。

19．(Ⅰ)證明：連接，　 在中，分別是的中點(diǎn)，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD

(Ⅱ)在中，，所以

　而DC平面ABC，，所以平面ABC

　而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE

由(Ⅰ)知四邊形DCQP是平行四邊形，所以

　所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP，

　所以直線AD與平面ABE所成角是

　在中， ，

所以

18．(浙江19

17.(山東18)((本小題滿分12分)

　　 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn). 　 　

(1)　　　 設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE//平面FCC；

(2)　　　 證明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

證明:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點(diǎn)F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因?yàn)锳B=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，

又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因?yàn)?sub>平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC.

(2)連接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,因?yàn)榈酌鍭BCD為等腰梯形，AB=4, BC=2,

　F是棱AB的中點(diǎn),所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，

,△ACF為等腰三角形，且

所以AC⊥BC,　 又因?yàn)锽C與CC₁都在平面BB₁C₁C內(nèi)且交于點(diǎn)C,

所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

[命題立意]: 本題主要考查直棱柱的概念、線面平行和線面垂直位置關(guān)系的判定.熟練掌握平行和垂直的判定定理.完成線線、線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

16. (寧夏海南19) (18)(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐中，⊿是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

(Ⅰ)證明：AB⊥PC

(Ⅱ)若，且平面⊥平面，　　　

求三棱錐體積。 (18)解：

(Ⅰ)因?yàn)?sub>是等邊三角形，,

所以,可得。

如圖，取中點(diǎn)，連結(jié),,

則,,

所以平面,

所以。　　　　　　　　　　　 ．．．．．．6分　 　　　　

(Ⅱ)作，垂足為，連結(jié)．

因?yàn)?sub>，

所以，．

由已知，平面平面，故．　　　　．．．．．．8分

因?yàn)?sub>，所以都是等腰直角三角形。

由已知，得， 的面積．

因?yàn)?sub>平面，

所以三角錐的體積

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．12分

15. (遼寧19)(本小題滿分12分)

如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)。

(I)若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直線MN的長(zhǎng)；

(II)用反證法證明：直線ME 與 BN 是兩條異面直線�！� 　　　　

(19)解

　 (Ⅰ)取CD的中點(diǎn)G連結(jié)MG，NG.

　 因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，

　 所以MG⊥CD，MG＝2，.

　 因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，

　所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.

　所以　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(Ⅱ)假設(shè)直線ME與BN共面，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …..8分

則平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN，

由已知，兩正方形不共面，故平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,

所以EN∥EF，這與矛盾，故假設(shè)不成立。　 　　　　

所以ME與BN不共面，它們是異面直線�！　　　　　　　　　　　　　� ……..12分

14. (廣東18)(17.(本小題滿分13分)

某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖4所示,墩的上半部分是正四棱錐P－EFGH,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD－EFGH.圖5、圖6分別是該標(biāo)識(shí)墩的正(主)視圖和俯視圖.

(1)請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)(左)視圖;

(2)求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積

(3)證明:直線BD平面PEG

[解析](1)側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.

　　(2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為：

　　(3)如圖,連結(jié)EG,HF及 BD，EG與HF相交于O,連結(jié)PO.

　　　　　 由正四棱錐的性質(zhì)可知,平面EFGH ,　

　　　　　 又　 平面PEG

　　　　　 又　　 平面PEG；　 　　　　　

13. (福建20) (本小題滿分12分)

如圖，平行四邊形中，，將

沿折起到的位置，使平面平面

　 (I)求證： 　 　　　　　　　　

　 (Ⅱ)求三棱錐的側(cè)面積。

(I)證明：在中，

　　 又平面平面

　　 平面平面平面

　　 平面

　　 平面

(Ⅱ)解：由(I)知從而

　　　　　 在中，

　　　　　 又平面平面

　　　　　 平面平面，平面

　　 而平面

　　　　　 綜上，三棱錐的側(cè)面積，

12. (安徽2) 本小題滿分13分

如圖，ABCD的邊長(zhǎng)為2的正方形，直線與平面ABCD平行，E和F式上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且EA=ED，F(xiàn)B=FC, 和是平面ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，和都與平面ABCD垂直，

(1)證明：直線垂直且平分線段AD：

(2)若∠EAD=∠EAB,EF2,求多面

體ABCDEF的體積。

解：由且面ABCD

∴點(diǎn)在線段AD的垂直平分線上，同理

點(diǎn)在線段BC 的垂直平分線上，又ABCD是正方形

∴線段BC 的垂直平分線就是線段AD的垂直平分線，即點(diǎn)、都在線段AD的垂直平分線，所以直線垂直且平分線段AD。

(2)連接EB、EC。由題設(shè)知，多面體ABCDEF可分割成正四棱錐E－ABCD和正四面體E－BCF兩部分。

設(shè)AD的中點(diǎn)為M，在Rt△MEE^/中，由于ME^/=1，ME=，∴EE^/=

∴

又

∴多面體ABCDEF的體積為。

11．(遼寧16)設(shè)某幾何體的三視圖如下(尺寸的長(zhǎng)度單位為m)。

　　　 則該幾何體的體積為 　　　　　　　　　　

[解析]這是一個(gè)三棱錐,高為2,底面三角形一邊為4,這邊上的高為3,

　　　　 體積等于×2×4×3＝4

[答案]4