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18.(本小題滿分12分)判斷下列命題的真假.

(1)∀x∈R，都有x²－x+1＞.

(2)∃α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ.

(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.

(4)∃x₀，y₀∈Z，使得x₀+y₀＝3.

解：(1)真命題，∵x²－x+1＝(x－)²+≥＞.

(2)真命題，如α＝，β＝，符合題意.

(3)假命題，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.

(4)真命題，例如x₀＝0，y₀＝3符合題意.

17.(本小題滿分12分)設(shè)集合A＝{－4,2a－1，a²}，B＝{9，a－5，1－a}，且A∩B＝{9}，求實數(shù)a的值.

解：因為A∩B＝{9}，所以9∈A.

若2a－1＝9，則a＝5，

此時A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，A∩B＝{－4,9}，與已知矛盾(舍去).

若a²＝9，則a＝±3.

當(dāng)a＝3時，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，與集合中元素的互異性矛盾(舍去)；

當(dāng)a＝－3時，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合題意.

綜上所述，a＝－3.

9.(文)設(shè)A，B是非空集合，定義A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≥0}，則A×B等于　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (　)

A.(2，+∞)　 B.∪∪(2，+∞)

解析：由題意知，A∪B＝，所以A×B＝(2，+∞).

答案：A

(理)定義一種集合運算A⊗B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，設(shè)M＝{x||x|＜2}，N＝{x|x²－4x+3＜0}，則M⊗N表示的集合是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.(－∞，－2]∪∪∪(3，+∞)

解析：M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以M∩N＝{x|1＜x＜2}，M∪N＝{x|－2＜x＜3}，故M⊗N＝(－2，1]∪上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，θ∈(，)，則f(sinθ)＞f(cosθ)；

③在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要條件；

④若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y＝x+2，則f(1)+f′(1)＝3.其中所有正確命題的序號是　　.

解析：①存在α＝＞β＝，使tan＝tan＜tan，①正確；

②f(x)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則在上是減函數(shù)，θ∈(，),1＞sinθ＞cosθ＞0，

∴f(sinθ)＜f(cosθ)，②錯誤；

③在△ABC中，A＞，則0＜sinA≤1.

sinA＞，則＞A＞，所以“A＞”是“sinA＞”的既必要不充分條件，③錯誤；

④函數(shù)y＝f(x)在點M(1，f(1))處的切線斜率為f′(1)＝，M(1，f(1))是曲線上的點也是切線上的點，x＝1時，f(1)＝，∴f(1)+f′(1)＝3，④正確.

答案：①④

8.(2010·溫州模擬)下列命題中，真命題是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.∃x∈R，使得sinx+cosx＝2

B.∀x∈(0，π)，有sinx＞cosx

C.∃x∈R，使得x²+x＝－2

D.∀x∈(0，+∞)，有e^x＞1+x

解析：∵sinx+cosx＝sin(x+)≤，故A錯；

當(dāng)0＜x＜時，cosx＞sinx，故B錯；

∵方程x²+x+2＝0無解，故C錯誤；

令f(x)＝e^x－x－1，則f′(x)＝e^x－1

又∵x∈(0，+∞)，∴f′(x)＝e^x－x－1在(0，+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)＞f(0)＝0，

即e^x＞1+x，故D正確.

答案：D

7.同時滿足①M⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈M，則6－a∈M的非空集合M有　　　　　 (　)

A.16個　 　　B.15個　　 C.7個　 　　　D.6個

解析：∵1+5＝2+4＝3+3＝6，∴集合M可能為單元素集：{3}；二元素集：{1,5}，{2,4}；三元素集：{1,3,5}，{2,3，4}；四元素集：{1,2,4,5}；五元素集：{1,2,3,4,5}.共7個.

答案：C

6.下列說法錯誤的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.命題：“已知f(x)是R上的增函數(shù)，若a+b≥0，則f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)”的逆否命題為真命題

B.“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要條件

C.若p且q為假命題，則p、q均為假命題

D.命題p：“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，則　 p：“∀x∈R，均有x²+x+1≥0”

解析：A中∵a+b≥0，∴a≥－b.

又函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，①

同理可得，f(b)≥f(－a)，②

由①+②，得f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，即原命題為真命題.

又原命題與其逆否命題是等價命題，

∴逆否命題為真.

若p且q為假命題，則p、q中至少有一個是假命題，所以C錯誤.

答案：C

5.(文)設(shè)全集U是實數(shù)集R，M＝{x|x²＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，

則圖中陰影部分表示的集合是　　　　　　　　　 (　)

A.{x|－2≤x＜1}　　　　 B.{x|1＜x≤2}

C.{x|－2≤x≤2}　　　　 D.{x|x＜2}

解析：陰影部分表示的集合為N∩∁_UM＝{x|1＜x≤2}.

答案：B

(理)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|2^x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，

則圖中陰影部分表示的集合為　　　　　　　　　　 (　)

A.{x|x≥1}　　　　　 B.{x|x≤1}

C.{x|0＜x≤1} 　　　　 D.{x|1≤x＜2}

解析：由2^x(x－2)＜1得x(x－2)＜0，故集合A＝{x|0＜x＜2}，由1－x＞0得x＜1，故B＝{x|x＜1}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}，所以∁_A(A∩B)＝{x|1≤x＜2}，即圖中陰影部分表示的集合為{x|1≤x＜2}.

答案：D

4.(2009·浙江高考)已知a，b是實數(shù)，則“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的　　 (　)

A.充分而不必要條件　　　　 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件　　　　　 D.既不充分也不必要條件

解析：a>0，b>0時顯然有a+b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a+b>0且ab>0，則a，b同號且同正，即a>0，b>0.必要性成立.

答案：C

3.命題“若a＞b，則a－1＞b－1”的否命題是　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.若a＞b，則a－1≤b－1　　 　B.若a≥b，則a－1＜b－1

C.若a≤b，則a－1≤b－1　　　 D.若a＜b，則a－1＜b－1

解析：即命題“若p，則q”的否命題是“若 p，則　 q”.

答案：C

2.(2009·全國卷Ⅱ)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，則∁_U(M∪N)＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.{5,7}　 　　B.{2,4}　　 C.{2,4,8}　 　　D.{1,3,5,6,7}

解析：M∪N＝{1,3,5,6,7}，∴∁_U(M∪N)＝{2,4,8}.

答案：C