+(200÷30)＝146
所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54(個(gè))
點(diǎn)評(píng)：分析200個(gè)數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡(jiǎn)單，可考慮用扣除法。
題型7：集合綜合題
例11．(1999上海，17)設(shè)集合A={x||x－a|<2}，B={x|
<1}，若A
B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。
由<1，得
<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。
因?yàn)?i>AB，所以
，于是0≤a≤1。
點(diǎn)評(píng)：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過(guò)程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。
例12．已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合A={(an,
)|n∈N*},B={(x,y)|
x2－y2=1,x,y∈R}。
試問(wèn)下列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說(shuō)明：
(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；
(2)A∩B至多有一個(gè)元素；
(3)當(dāng)a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠
。
解：(1)正確；在等差數(shù)列{an}中，Sn=
,則
(a1+an),這表明點(diǎn)(an,)的坐標(biāo)適合方程y
(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=
x+a1上。
(2)正確；設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組
的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=－4(*)，
當(dāng)a1=0時(shí)，方程(*)無(wú)解，此時(shí)A∩B=；
當(dāng)a1≠0時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解x=
,此時(shí)，方程組也只有一解
,故上述方程組至多有一解。
∴A∩B至多有一個(gè)元素。
(3)不正確；取a1=1，d=1，對(duì)一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0,
>0，這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0
如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結(jié)論，A∩B中至多有一個(gè)元素(x0,y0),而x0=
＜0,y0=
＜0，這樣的(x0,y0)
A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)A∩B=，所以a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠是不正確的。
點(diǎn)評(píng)：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識(shí)，屬于知識(shí)交匯題。
變式題：解答下述問(wèn)題：
(Ⅰ)設(shè)集合
，
,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解
的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問(wèn)題的具體方法。
解：
的取值范圍是
UM={m|m<-2}.
(解法三)設(shè)
這是開口向上的拋物線，
，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于
注意，在解法三中，f(x)的對(duì)稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。
(Ⅱ)已知兩個(gè)正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,a4},
、B.
分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)”這個(gè)條件的運(yùn)用，
(Ⅲ)
分析：正確理解
要使
,
由
當(dāng)k=0時(shí)，方程有解
,不合題意；
當(dāng)
①
又由
由
②，
由①、②得
∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1
點(diǎn)評(píng)：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問(wèn)題，解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問(wèn)題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。
題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題
例13．七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個(gè)位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？
解：設(shè)集合A={甲站在最左端的位置}，
B={甲站在最右端的位置}，
C={乙站在正中間的位置}，
D={丙站在正中間的位置}，
則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示，
∴不同的排法有
種.
點(diǎn)評(píng)：這是一道排列應(yīng)用問(wèn)題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯(cuò)，若考慮運(yùn)用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說(shuō)明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。
例14．A是由定義在
上且滿足如下條件的函數(shù)
組成的集合：①對(duì)任意
，都有
； ②存在常數(shù)
，使得對(duì)任意的
，都有
(1)設(shè)
，證明：
(2)設(shè),如果存在
,使得
,那么這樣的
是唯一的;
(3)設(shè),任取
,令
證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式
H。
解：
對(duì)任意,
,
,
,所以
對(duì)任意的，
，
，
所以0<
,
令=
，
，
所以
反證法：設(shè)存在兩個(gè)
使得,
。
則由
，
得
，所以
，矛盾，故結(jié)論成立。
，
所以
+…
。
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來(lái)的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎
2、
，其中
，由
中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：
，
．其中
是有序數(shù)對(duì)，集合
和
中的元素個(gè)數(shù)分別為
和
．若對(duì)于任意的
，總有
，則稱集合具有性質(zhì)
．
(I)對(duì)任何具有性質(zhì)的集合，證明：
；
(II)判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：(I)證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)
共有
個(gè)．
因?yàn)?sub>
，所以
；
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，，所以當(dāng)
時(shí)，
．
從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為
，
即．
(II)解：
，證明如下：
(1)對(duì)于
，根據(jù)定義，，
，且
，從而
．
如果與
是的不同元素，那么
與
中至少有一個(gè)不成立，從而
與中也至少有一個(gè)不成立．
故
與
也是的不同元素．
可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即
，
(2)對(duì)于
，根據(jù)定義，，，且
，從而
．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而
與中也不至少有一個(gè)不成立，
故
與
也是的不同元素．
可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即
，
由(1)(2)可知，．
例9．向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果
贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問(wèn)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？
解：贊成A的人數(shù)為50×
=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。
設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為
+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。
點(diǎn)評(píng)：在集合問(wèn)題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來(lái)。本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。
例10．求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)？
解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件
的數(shù)共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)
2. 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )．
分析：解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮．從反面考慮問(wèn)題在集合中的運(yùn)用主要就是運(yùn)用補(bǔ)集思想．本題若直接求解，情形較復(fù)雜，也不容易得到正確結(jié)果，若我們先考慮其反面，再求其補(bǔ)集，就比較容易得到正確的解答．
解：由題知可解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我們不妨先考慮當(dāng)A∩B＝φ時(shí)a的范圍．如圖
由
，得
∴
或
.
即A∩B＝φ時(shí)a的范圍為或.而A∩B≠φ時(shí)a的范圍顯然是其補(bǔ)集,從而所求范圍為
.
評(píng)注：一般地，我們?cè)诮鈺r(shí)，若正面情形較為復(fù)雜，我們就可以先考慮其反面，再利用其補(bǔ)集，求得其解，這就是“補(bǔ)集思想”．
例4．已知全集
，A={1,
}如果
，則這樣的實(shí)數(shù)
是否存在？若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由
解：∵；
∴
，即
＝0，解得
當(dāng)
時(shí)，
，為A中元素；
當(dāng)
時(shí)，
當(dāng)
時(shí)，
∴這樣的實(shí)數(shù)x存在，是
或。
另法：∵
∴，
∴＝0且
∴或。
點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過(guò)程中“當(dāng)時(shí)，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號(hào)是兩層含義：。
變式題：已知集合
，
,
,求
的值。
解：由
可知，
(1)
，或(2)
解(1)得
，
解(2)得
，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
與題意不符，
所以，
。
題型3：集合的運(yùn)算
例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函數(shù)
的定義域集合是A,函數(shù)
的定義域集合是B
(1)求集合A、B
(2)若A
B=B,求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
解 (1)A＝
B＝
(2)由AB＝B得A
B，因此
所以
,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
例6．(2009寧夏海南卷理)已知集合
,則
( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 易有
，選A
點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。
題型4：圖解法解集合問(wèn)題
例7．(2009年廣西北海九中訓(xùn)練)已知集合M=
，N=
，則
( )
A．
B．
C．
D．
答案 C
例8．湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)2008屆高三第六次月考試卷數(shù)學(xué)(理)試卷
設(shè)全集
，函數(shù)
的定義域?yàn)锳，集合
，若
恰好有2個(gè)元素，求a的取值集合。
解：
時(shí)，
∴
∴
，∴
∴
當(dāng)時(shí)，
在此區(qū)間上恰有2個(gè)偶數(shù)。
題型1：集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛(ài)兵乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_12__
答案 ：12
解析 設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為人，則只喜愛(ài)籃球的有
人，只喜愛(ài)乒乓球的有
人，由此可得
，解得
，所以
，即 所求人數(shù)為12人�！� 
例1．(2009廣東卷理)已知全集
，集合
和
的關(guān)系的韋恩(Venn)圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有 ( )
A. 3個(gè) B. 2個(gè)
C. 1個(gè) D. 無(wú)窮多個(gè)
答案 B
解析 由得
，則
，有2個(gè)，選B.
例2．(2009山東卷理)集合
,
,若
,則的值
為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
解析 ∵,,∴
∴
,故選D.
[命題立意]:本題考查了集合的并集運(yùn)算,并用觀察法得到相對(duì)應(yīng)的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.
題型2：集合的性質(zhì)
例3．(2009山東卷理)集合,,若,則的值為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
解析 ∵,,∴∴,故選D.
[命題立意]:本題考查了集合的并集運(yùn)算,并用觀察法得到相對(duì)應(yīng)的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.
隨堂練習(xí)
1.
( 廣東地區(qū)2008年01月份期末試題匯編)設(shè)全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+
x－6=0}，則下圖中陰影表示的集合為 ( )
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
5．集合的簡(jiǎn)單性質(zhì)：
(1)
(2)
(3)
(4)
；
(5)
(A∩B)=(A)∪(B)，(A∪B)=(A)∩(B)。
4．交集與并集：
(1)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集
。
(2)一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?i>B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。
注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。
3．全集與補(bǔ)集：
(1)包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；
(2)若S是一個(gè)集合，A
S，則，=
稱S中子集A的補(bǔ)集；
(3)簡(jiǎn)單性質(zhì)：1)()=A；2)S=
，
=S
2．集合的包含關(guān)系：
(1)集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集(或B包含A)，記作AB(或
)；
集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若AB且B
A，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A B；
(2)簡(jiǎn)單性質(zhì)：1)AA；2)A；3)若AB，BC，則AC；4)若集合A是n個(gè)元素的集合，則集合A有2n個(gè)子集(其中2n－1個(gè)真子集)；
1．集合：某些指定的對(duì)象集在一起成為集合
(1)集合中的對(duì)象稱元素，若a是集合A的元素，記作
；若b不是集合A的元素，記作
；
(2)集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無(wú)序性；
確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；
互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；
無(wú)序性：集合中不同的元素之間沒(méi)有地位差異，集合不同于元素的排列順序無(wú)關(guān)；
(3)表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法；
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)；
描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào){}內(nèi)。
具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。
注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無(wú)限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。
(4)常用數(shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N；
正整數(shù)集，記作N*或N+；
整數(shù)集，記作Z；
有理數(shù)集，記作Q；
實(shí)數(shù)集，記作R。
有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對(duì)集合的計(jì)算化簡(jiǎn)的考查，并向無(wú)限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何的直觀性，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)的訓(xùn)練�？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。
預(yù)測(cè)2010年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識(shí)的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會(huì)滲透在解答題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立。具體題型估計(jì)為：
(1)題型是1個(gè)選擇題或1個(gè)填空題；
(2)熱點(diǎn)是集合的基本概念、運(yùn)算和工具作用
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