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1．已知，求及。

[例1]已知數(shù)列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一項比前一項大3.(1)指出這個數(shù)列的通項公式；(2)指出1+4+…+(3n－5)是該數(shù)列的前幾項之和.

錯解：(1)a_n=3n+7;

(2) 1+4+…+(3n－5)是該數(shù)列的前n項之和.

錯因：誤把最后一項(含n的代數(shù)式)看成了數(shù)列的通項.(1)若令n=1,a₁=101,顯然3n+7不是它的通項.

正解：(1)a_n=3n－2;

(2) 1+4+…+(3n－5)是該數(shù)列的前n－1項的和.

　[例2] 已知數(shù)列的前n項之和為① 　② 　

求數(shù)列的通項公式。

錯解： ①

　　　 ②

錯因：在對數(shù)列概念的理解上，僅注意了a_n＝S_n－S_n-1與的關(guān)系，沒注意a₁=S₁.

正解：　　 ①當時，

　　　　　 當時，

　　　　　 經(jīng)檢驗 時 　也適合，

　　　　　 ②當時，

　　　　　　 當時，

　　　　 ∴ 　

[例3] 已知等差數(shù)列的前n項之和記為S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，則S₄₀等于　　　　　 。

錯解：S₃₀= S₁₀·2d. 　d＝30， 　S₄₀= S₃₀+d =100.

錯因：將等差數(shù)列中S_m, S_2m －S_m, S_3m －S_2m成等差數(shù)列誤解為S_m, S_2m, S_3m成等差數(shù)列.

正解：由題意：得

代入得S₄₀ ＝。

[例4]等差數(shù)列、的前n項和為S_n、T_n.若求；

錯解：因為等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令a_n=7n+1;b_n=4n+27.

錯因：誤認為

正解：

[例5]已知一個等差數(shù)列的通項公式a_n=25－5n，求數(shù)列的前n項和；

錯解：由a_n0得n5

前5項為非負，從第6項起為負，

S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=50(n5)

當n6時，S_n=｜a₆｜+｜a₇｜+｜a₈｜+…+｜a_n｜＝

　S_n=

錯因：一、把n5理解為n=5，二、把“前n項和”誤認為“從n6起”的和.

正解： 　

[例6]已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，

由此可以確定求其前項和的公式嗎？

解：理由如下：由題設： 　　

得： 　

　∴

[例7]已知： ()　 (1) 問前多少項之和為最　　 大？(2)前多少項之和的絕對值最�。�

　解：(1)　 　　　∴

　　 (2)

　　　　 當近于0時其和絕對值最小

　　　 　令：　 即 1024+

　　　　 得：

　　　　 　　∵ 　　　∴

[例8]項數(shù)是的等差數(shù)列，中間兩項為是方程的兩根，求證此數(shù)列的和是方程 的根。 ()

　證明：依題意　　

　 ∵　　 ∴

　　 ∵

∴ 　　　　∴　 (獲證)。

6、在解決等差數(shù)列問題時，如已知，a₁，a_n，d，，n中任意三個，可求其余兩個。

5、對等差數(shù)列的前n項之和公式的理解：等差數(shù)列的前n項之和公式可變形為，若令A＝，B＝a₁－，則＝An²+Bn.

4.從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項公式：a_n= a₁+(n-1)d=d·n+ a₁-d, a_n是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(n,)均勻排列在一條直線上，由兩點確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項可以確定一個等差數(shù)列.

3.數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n與a_n之間的關(guān)系：若a₁適合a_n(n>2),則不用分段形式表示，切不可不求a₁而直接求a_n.

2.一個數(shù)列的通項公式通常不是唯一的.

1.數(shù)列的概念應注意幾點：(1)數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；(2)同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個相同的數(shù)；(3)數(shù)列看做一個定義域為正整數(shù)集或其有限子集({1，2，3，…，n})的函數(shù).

8.等差中項:如果a，A，b這三個數(shù)成等差數(shù)列，那么A＝．我們把A＝叫做a和b的等差中項．

7.等差數(shù)列:一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．