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2.在等比數(shù)列，已知，，求.

1.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

1)　　　 a₁=-2,　 a₃=-8

2)　　　 a₁=5, 且2a_n+1=-3a_n

3)　　　 a₁=5, 且

[例1] 已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和S_n=aqⁿ(為非零常數(shù))，則為(　)。

A.等差數(shù)列　　

B.等比數(shù)列　

C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

錯(cuò)解：

(常數(shù))

為等比數(shù)列，即B。

錯(cuò)因：忽略了中隱含條件n＞1.

正解：當(dāng)n＝1時(shí)，a₁=S₁＝aq;

當(dāng)n>1時(shí)，

(常數(shù))

但

既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。

[例2] 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記為S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，則S₄₀等于.

錯(cuò)解：S₃₀= S₁₀·q ². 　q ²＝7，q＝， S₄₀= S₃₀·q =.

錯(cuò)因：是將等比數(shù)列中S_m, S_2m －S_m, S_3m －S_2m成等比數(shù)列誤解為S_m, S_2m, S_3m成等比數(shù)列.

正解：由題意：得，

S₄₀=.

[例3] 求和：a+a²+a³+…+aⁿ.

錯(cuò)解： a+a²+a³+…+aⁿ＝.

錯(cuò)因：是(1)數(shù)列{aⁿ}不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(2)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q是否等于1.

正解：當(dāng)a＝0時(shí)，a+a²+a³+…+aⁿ＝0;

　當(dāng)a＝1時(shí)，a+a²+a³+…+aⁿ＝n;

當(dāng)a1時(shí)， a+a²+a³+…+aⁿ＝.

[例4]設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，，

　　　 求證：成等比數(shù)列且公比為。

證明：

證法一：關(guān)于的二次方程有實(shí)根，

　 ∴，∴

　 則必有：，即，∴非零實(shí)數(shù)成等比數(shù)列

　 設(shè)公比為，則，代入

　 ∵，即，即。

證法二：∵

　　　 ∴

　　　 ∴，∴，且

　　　 ∵非零，∴。

[例5]在等比數(shù)列中，，求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。

　 解：

　∵，∴前七項(xiàng)之積

[例6]求數(shù)列前n項(xiàng)和

　 解：　　　　　　　 ①

　 ②

兩式相減：

[例7]從盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg鹽水，然后再加入1kg水，

問：(1)第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽多kg？

　　 (2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？

解：(1)每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為{a_n}，則：

　 a₁= 0.2 (kg),　 a₂=×0.2(kg),　　 a₃= ()²×0.2(kg)

　由此可見：a_n= ()^n-1×0.2(kg),　 a₅= ()^5-1×0.2= ()⁴×0.2=0.0125(kg)。

　　 (2)由(1)得{a_n}是等比數(shù)列　　 a₁=0.2 ,　　 q=

答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg鹽，此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.003125。

7．在解決等比數(shù)列問題時(shí)，如已知，a₁，a_n，d，，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。

6.等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₁q^n-1可改寫為.當(dāng)q>0，且q1時(shí)，y=q^x是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0　的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列{a_n}的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn).

5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用a_n=a_mq^n-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).

4.在已知等比數(shù)列的a₁和q的前提下，利用通項(xiàng)公式a_n=a₁q^n-1,可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng).

3.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說此數(shù)列從. 第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.

2.對于公比q，要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.

1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不為0.