1、提問：正方形面積公式？正方體的體積公式？(
、
)
由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考則突出了對向量與解析幾何結(jié)合考查，這就要求我們在平時(shí)的解析幾何教學(xué)與復(fù)習(xí)中，應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，有效地滲透向量有關(guān)知識(shí)，樹立應(yīng)用向量的意識(shí)。應(yīng)充分挖掘課本素材，在教學(xué)中從推導(dǎo)有關(guān)公式、定理，例題講解入手，讓學(xué)生去品位、去領(lǐng)悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會(huì)向量的工具性，逐漸形成應(yīng)用向量的意識(shí)，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用一些問題的結(jié)論，加以引申，使之成為解題方法，體會(huì)向量解題的優(yōu)越性，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用向量方法解題，逐步樹立運(yùn)用向量知識(shí)解題的意識(shí)。
例1、(2000年全國高考題)橢圓
的焦點(diǎn)為F
F
，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F
P F為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。
解：F1(－
,0)F2(,0),設(shè)P(3cos
,2sin)
為鈍角
∴ 
=9cos2－5+4sin2=5 cos2－1<0
解得：
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是(
)
點(diǎn)評：解決與角有關(guān)的一類問題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值，通過坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式，簡潔明了。
例2、已知定點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)2+(y-4)2=4上的一動(dòng)點(diǎn)，求
的最大值和最小值。
分析：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以
故可利用向量把問題轉(zhuǎn)化為求向量
的最值。
解：設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得：
又由中點(diǎn)公式得
所以
=
=
=
又因?yàn)?sub>
點(diǎn)P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上,
所以
且
所以
即
故
所以的最大值為100，最小值為20。
點(diǎn)評：有些解幾問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運(yùn)用向量知識(shí)來解決，也會(huì)顯得自然、簡便，而且易入手。
例3、(2003年天津高考題)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
，
，則P的軌跡一定通過△ABC的( )
(A)外心 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)垂心
分析：因?yàn)?sub>
同向的單位向量，由向量加法的平行四邊形則知
是與∠ABC的角平分線(射線)同向的一個(gè)向量，又
，知P點(diǎn)的軌跡是∠ABC的角平分線，從而點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心。
反思：根據(jù)本題的結(jié)論，我們不難得到求一個(gè)角的平分線所在的直線方程的步驟；
(1)
由頂點(diǎn)坐標(biāo)(含線段端點(diǎn))或直線方程求得角兩邊的方向向量
；
(2)
求出角平分線的方向向量
(3)
由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得出角平分線方程。{直線的點(diǎn)向式方程：過P(
)，其方向向量為
，其方程為
}
例4、(2003年天津)已知常數(shù)
，向量
，經(jīng)過原點(diǎn)
以
為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)
以
為方向向量的直線相交于點(diǎn)
，其中
．試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)
，使得
為定值，若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
(本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.)
解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.
∵， ∴=(λ，a)，=(1，－2λa).
因此，直線OP和AP的方程分別為 
和 
.
消去參數(shù)λ，得點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足方程
.
整理得 
……① 因?yàn)?sub>
所以得：
(i)當(dāng)
時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；
(ii)當(dāng)
時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)
和
為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；
(iii)當(dāng)
時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)
和
為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).
點(diǎn)評：本題以平面向量為載體，考查求軌跡的方法、利用方程判定曲線的性質(zhì)、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。去掉平面向量的背景，我們不難看到，本題即為下題：
在△OAP中，O(0，0)、A(0，a)為兩個(gè)定點(diǎn)，另兩邊OP與AP的斜率分別是
，求P的軌跡。
而課本上有一道習(xí)題(數(shù)學(xué)第二冊(上)第96頁練習(xí)題4)：
三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-6，0)、(6，0)，邊AC、BC所在直線的斜率之積等于
，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。通過本例可見高考題目與課本的密切關(guān)系。
例5．(2004年天津卷理22)橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為
，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)(
)的準(zhǔn)線
與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若
，求直線PQ的方程；
(3)設(shè)
(
)，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明
.
分析：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
(1)解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為
.
由已知得
解得
所以橢圓的方程為
，離心率
.
(2)解：由(1)可得A(3，0).
設(shè)直線PQ的方程為
.由方程組
得
依題意
，得
.
設(shè)
，則
， ① 
. ②
由直線PQ的方程得
.于是
. ③
∵，∴
. ④
由①②③④得
，從而
.
所以直線PQ的方程為
或
(2)證明：
.由已知得方程組
注意，解得
因
，故
.
而
，所以.
平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個(gè)亮點(diǎn)。 向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜，不妨運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會(huì)大大簡化過程。
4.(天津卷20)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)
在
處取得極值。
(I)討論
和
是函數(shù)
的極大值還是極小值；
(II)過點(diǎn)
作曲線
的切線，求此切線方程。
(江蘇卷10)函數(shù)
在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
(浙江卷11)設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f '(x)的圖象
如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是
(A) (B) (C) (D)
(浙江卷20)設(shè)曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t}處的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t). (1)求切線l的方程；(2)求S(t)的最大值。
3.(天津卷9)函數(shù)
)為增函數(shù)的區(qū)間是
(A)
(B)
(C)
(D)
2．(全國卷22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g(
)<(b-a)ln2.
1．(全國卷10)函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)( )
A (
) B (π,2π) C (
) D (2π,3π)
例1．
在
處可導(dǎo)，則
思路： 在處可導(dǎo)，必連續(xù)
∴
∴ 
例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限：
(1)
； (2)
分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在
處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。
解：(1)
(2)
說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。
例3．觀察
，
，
，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。
解：若為偶函數(shù) 
令
∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)
另證：
∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)
例4．(1)求曲線
在點(diǎn)(1，1)處的切線方程；
(2)運(yùn)動(dòng)曲線方程為
，求t=3時(shí)的速度。
分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在
處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)
處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。
解：(1)
，
，即曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率k=0
因此曲線在(1，1)處的切線方程為y=1
(2)
。
例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)
時(shí)
∴ 
，
(2)
∴ 
，
(3)
∴ 
∴ 
，
，
(4)
定義域?yàn)?sub>
例6．求證下列不等式
(1)
(2)
(3)
證：(1)
∴ 為上 ∴
恒成立
∴ 
∴ 
在上 ∴ 
恒成立
(2)原式
令 
∴ 
∴
∴
(3)令
∴ 
∴ 
例7．利用導(dǎo)數(shù)求和：
(1)
；
(2)
。
分析：這兩個(gè)問題可分別通過錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式
，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡捷。
解：(1)當(dāng)x=1時(shí)，
；
當(dāng)x≠1時(shí)，
∵
，
兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得
即
(2)∵
，
兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得
。
令x=1得
，
即
。
例8．設(shè)
，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間.
分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.
解：
.
當(dāng)
時(shí) 
.
(i)當(dāng)
時(shí)，對所有
，有
.
即，此時(shí)在
內(nèi)單調(diào)遞增.
(ii)當(dāng)
時(shí)，對
，有
，
即，此時(shí)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，
函數(shù)在(0，+
)內(nèi)單調(diào)遞增
(iii)當(dāng)
時(shí)，令，即.
解得
.
因此，函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間
內(nèi)也單調(diào)遞增.
令
，解得
.
因此，函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減.
例9．已知拋物線
與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的切線分別為
和
。
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求直線與的夾角。
分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。
解 (1)由方程組
解得
A(-2，0)，B(3，5)
(2)由y′=2x，則
，
。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，
所以
說明：本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。
例10．(2001年天津卷)設(shè)，
是
上的偶函數(shù)。
(I)求
的值； (II)證明在上是增函數(shù)。
解：(I)依題意，對一切
有，即
，
∴
對一切成立，
由此得到
，
， 又∵，∴。
(II)證明：由
，得
，
當(dāng)
時(shí)，有
，此時(shí)�！�在上是增函數(shù)。
4．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：
(1)適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；(2)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對哪個(gè)變量求導(dǎo))；(3)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)。
也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)
，中間變量對自變量求導(dǎo)
；最后求
，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過程可簡記為分解--求導(dǎo)--回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。
國際學(xué)校優(yōu)選 - 練習(xí)冊列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話：027-86699610 舉報(bào)郵箱：58377363@163.com