10．設(shè)函數(shù)
，則
＝____．
9．下列函數(shù)中，與函數(shù)
相同的函數(shù)是( )
8．給定映射
，點(diǎn)
的原象是_______
7．已知集合
，映射
，在
作用下點(diǎn)
的象是
，則集合
( )
6．(1)
，
，
；
(2)
，
，
；
(3)
，
，
．
上述三個(gè)對(duì)應(yīng)_____是
到
的映射．
4．與函數(shù)y=
的圖象相同的函數(shù)是 ( )
A
y=2x-1(x>1/2) By=1/(2x-1) Cy=1/(2x-1)(x>1/2) Dy=1/|2x-1|
5設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，
則f(－1)+f(1)( )
A大于0 B小于0
C等于0 D以上結(jié)論都不對(duì)
3．已知集合A={1,2,3,4},B={-1,1,2},
(1)集合A到B的映射共有多少個(gè)？
(2)若集合B中的每一個(gè)元素都有原象，這樣的映射共有多少個(gè)？
(3)若集合B中元素2必須要有原象，這樣的映射共有多少個(gè)？
2．設(shè)集合A={-1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射A®B，使對(duì)任意xÎA,都有x+f(x)+xf(x)是奇數(shù)，則這樣的映射f 的個(gè)數(shù)是
1．設(shè)f：A®B是從A到B的一個(gè)映射，其中A=B={(x,y)|xÎR,yÎR},f：(x,y)®(x+y,xy),則A中(1,-2)的象是 ，B中(1,-2)的原象是
6．復(fù)合函數(shù)：若y=f(u),u=g(x),xÎ(a,b),uÎ(m,n),那么y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域
題型講解
例1設(shè)集合
，
，如果從
到
的映射滿足條件：對(duì)中的每個(gè)元素
與它在中的象
的和都為奇數(shù)，則映射的個(gè)數(shù)是( 
)
A8個(gè)
B12個(gè) C16個(gè) D18個(gè)
解：∵
為奇數(shù)，∴當(dāng)為奇數(shù)
、
時(shí)，它們?cè)?sub>中的象只能為偶數(shù)
、
或
，由分步計(jì)數(shù)原理和對(duì)應(yīng)方法有
種；而當(dāng)
時(shí)，它在中的象為奇數(shù)或，共有種對(duì)應(yīng)方法．故映射的個(gè)數(shù)是
．故選D
例2 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是__________，從B到A的映射個(gè)數(shù)是__________
解：從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對(duì)應(yīng)方法(可對(duì)應(yīng)5或6或7)，第二步A中的元素4也有這3種對(duì)應(yīng)方法由乘法原理，不同的映射種數(shù)N1＝3×3＝9反之從B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8種不同映射
答案：9 8
例3 A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}從集合A到B的映射中滿足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有( )
A27
B9
C21 D12
解：(1)當(dāng)全是等號(hào)時(shí)，(即與B中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng))，則f有C
個(gè);
(2)有一個(gè)不等號(hào)時(shí)的映射(即與B中的兩個(gè)元素對(duì)應(yīng))，f有C
·C
=12個(gè);
(3)有二個(gè)不等號(hào)的映射，f有C
·C
=6個(gè)
所以共有3+12+6=21個(gè)，答案選C
另一種解釋法：將元素1，2，3，4，5按照從小到大的順序串成一串之間有4個(gè)節(jié)點(diǎn)
若只有一個(gè)象就讓這一串整體對(duì)應(yīng)有C＝3種方法；
若恰有兩個(gè)象就將這一串分為兩段，并按照大小順序?qū)?yīng)，有C·C＝12種方法；
若恰有三個(gè)象就將這一串分為三段，并按照大小順序?qū)?yīng)，有C·C＝6種方法
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有3+12+6=21個(gè)映射故選C
例4 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？
(1)f(x)=
，g(x)=
；
(2)f(x)=
，g(x)=
(3)f(x)=
，g(x)=(
)2n－1(n∈N*)；
(4)f(x)=
，g(x)=
；
(5)f(x)=x2－2x－1，g(t)=t2－2t－1
剖析：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)，當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然
解：(1)由于f(x)==|x|，g(x)==x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)
(2)由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞)，而g(x)=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)
(3)由于當(dāng)n∈N*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，∴f(x)==x，g(x)=()2n－1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)
(4)由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閧x|x≥0}，而g(x)=的定義域?yàn)閧x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)
(5)函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)
評(píng)述：(1)第(5)小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無(wú)影響，比如f(x)=x2+1，f(t)=t2+1，f(u+1)=(u+1)2+1都可視為同一函數(shù)
(2)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來(lái)講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)
例5 某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，一直分裂下去．
(1) 用列表表示，1個(gè)細(xì)胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)；
(2)用圖像表示1個(gè)細(xì)胞分裂的次數(shù)n(nÎN+)與得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y之間的關(guān)系；
解：(1) 利用正整指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可以算出1個(gè)細(xì)胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)，列表如下
|
分裂次數(shù) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
細(xì)胞個(gè)數(shù) |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
(2)細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的關(guān)系式是
y＝2n，nÎN+．
變式：
一種專門(mén)占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存KB，然后每
分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的倍，那么開(kāi)機(jī)后經(jīng)過(guò) ______ 分鐘，該病毒占據(jù)
MB內(nèi)存(MB=
KB)
例6試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)
，使得對(duì)一切
有
恒成立，但是既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，則可以是
解：的圖像部分關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，部分關(guān)于
軸對(duì)稱，如
．
點(diǎn)評(píng) 本題是一道開(kāi)放題，你能給出其它的答案嗎？請(qǐng)不妨一試．
例7 某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率
與日產(chǎn)量(件)之間大體滿足關(guān)系：
(其中c為小于96的正常數(shù))
注：次品率
，如
表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品．其余為合格品．
已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損
元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量．
(1)試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額
(元)表示為日產(chǎn)量(件)的函數(shù)；
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？
解：(1)當(dāng)
時(shí)，
，所以，每天的盈利額
;
當(dāng)
時(shí)，
，
所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有
件，次品約有
件．故，每天的盈利額
綜上，日盈利額(元)與日產(chǎn)量(件)的函數(shù)關(guān)系為：
(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，每天的盈利額為0．
當(dāng)時(shí)，
．
令
，則
．
故 
．
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時(shí)，等號(hào)成立．
所以(i)當(dāng)
時(shí)，
(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)成立)．
(ii) 當(dāng)
時(shí)，由得
，
易證函數(shù)
在
上單調(diào)遞增(證明過(guò)程略)．
所以，
．
所以，
，
即
．(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取得)
綜上，若
，則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)；若，則當(dāng)日產(chǎn)量為
時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)．
點(diǎn)評(píng) 分段函數(shù)是歷年高考的熱門(mén)話題，�？汲Ｐ拢档梦覀�?cè)趶?fù)課時(shí)認(rèn)真對(duì)待．
例8 矩形
的長(zhǎng)
，寬
，動(dòng)點(diǎn)
、
分別在
、
上，且
，(1)將
的面積
表示為的函數(shù)，求函數(shù)
的解析式；
(2)求的最大值．
解：(1)
．
∵
，∴
，
∴函數(shù)的解析式：
；
(2)∵在
上單調(diào)遞增，
∴
，即的最大值為
．
例9
函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)，均有
成立，且
，
(1)求
的值；
(2)對(duì)任意的
，
，都有
成立時(shí)，求
的取值范圍．
解：(1)由已知等式，
令
，
得
，
又∵，∴
．
(2)由，
令得
，
由(1)知，∴
．
∵，
∴
在上單調(diào)遞增，
∴
．
要使任意，都有成立，
當(dāng)
時(shí)，
,顯然不成立．
當(dāng)
時(shí)，
，∴
，解得
∴的取值范圍是
．
學(xué)生練習(xí)
題組一：
1設(shè)集合A=R，集合B=正實(shí)數(shù)集，則從集合A到集合B的映射f只可能是
Af:x→y=|x| Bf:x→y= Cf:x→y=3－x Df:x→y=log2(1+|x|)
解析：指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是(0，+∞)，所以f是x→y=3－x
答案：C
2設(shè)M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?i>M，值域?yàn)?i>N，則f(x)的圖象可以是
解析：A項(xiàng)定義域?yàn)椋郏?，0］，D項(xiàng)值域不是［0，2］，C項(xiàng)對(duì)任一x都有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，都不符故選B 答案：B
3已知函數(shù)f(x)=lg
，若f(a)=b，則f(－a)等于
Ab B－b C
D－
解析：f(－a)=lg
=－lg
=－f(a)=－b 答案： B
4函數(shù)y=
的定義域是
A［－
，－1)∪(1，］ B(－
，－1)∪(1，)
C［－2，－1)∪(1，2］ D(－2，－1)∪(1，2)
解析：
－≤x＜－1或1＜x≤
∴y=的定義域?yàn)椋郏?sub>，－1)∪(1，］答案：A
5若函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是［0，1］，則a等于
A 
B C
D2
解析：f(x)=loga(x+1)的定義域是［0，1］，
∴0≤x≤1，則1≤x+1≤2
當(dāng)a＞1時(shí)，0=loga1≤loga(x+1)≤loga2=1，∴a=2；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga2≤loga(x+1)≤loga1=0，與值域是［0，1］矛盾
綜上，a=2 答案：D
6設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，則在映射f下，象20的原象是
A2 B3 C4 D5
解析：由2n+n＝20求n，用代入法可知選C 答案：C
7某種型號(hào)的手機(jī)自投放市場(chǎng)以來(lái)，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，單價(jià)由原來(lái)的2000元降到1280元，則這種手機(jī)平均每次降價(jià)的百分率是
A10% B15% C18% D20%
解析：設(shè)降價(jià)百分率為x%，
∴2000(1－x%)2=1280解得x=20 答案：D
8設(shè)函數(shù)f(x)=
則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為
A(－∞，－2］∪［0，10］ B(－∞，－2］∪［0，1］
C(－∞，－2］∪［1，10］ D［－2，0］∪［1，10］
解析：f(x)是分段函數(shù)，故f(x)≥1應(yīng)分段求解
當(dāng)x＜1時(shí)，f(x)≥1
(x+1)2≥1x≤－2或x≥0，
∴x≤－2或0≤x＜1
當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥14－
≥1≤3x≤10，
∴1≤x≤10
綜上所述，x≤－2或0≤x≤10 答案：A
9已知f(x)=
則不等式xf(x)+x≤2的解集是________
解析：x≥0時(shí)，f(x)=1，xf(x)+x≤2x≤1，∴0≤x≤1；
當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=0，xf(x)+x≤2x≤2，∴x＜0綜上x≤1
答案：{x|x≤1}
10已知函數(shù)y=log
x與y=kx的圖象有公共點(diǎn)A，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k的值等于
A－
B C－
D
解析：由點(diǎn)A在y=logx的圖象上可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)y=log2=－又A(2，－)在y=kx圖象上，－=k·2，∴k=－ 答案：A
11如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y=f(x)
(1)求△ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值
解：(1)這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?0，12)
當(dāng)0＜x≤4時(shí)，S=f(x)=·4·x=2x；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，S=f(x)=8；
當(dāng)8＜x＜12時(shí)，S=f(x)=·4·(12－x)=2(12－x)=24－2x
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為
f(x)=
(2)其圖形如右， 由圖知，［f(x)］max=8
12若f :y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個(gè)映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B
解：∵f(1)=3×1+1=4，f(2)=3×2+1=7，f(3)=3×3+1=10，f(k)=3k+1，由映射的定義知
(1)
或(2)
∵a∈N，∴方程組(1)無(wú)解
解方程組(2)，得a=2或a=－5(舍)，3k+1=16，3k=15，k=5
∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}
13如果函數(shù)f(x)=(x+a)3對(duì)任意x∈R都有f(1+x)=－f(1－x)，試求f(2)+ f(－2)的值
解：∵對(duì)任意x∈R，總有f(1+x)=－f(1－x)，
∴當(dāng)x=0時(shí)應(yīng)有f(1+0)=－f(1－0)，
即f(1)=－f(1)∴f(1)=0
又∵f(x)=(x+a)3，∴f(1)=(1+a)3
故有(1+a)3＝0a=－1∴f(x)=(x－1)3
∴f(2)+f(－2)=(2－1)3+(－2－1)3＝13+(－3)3＝－26
14集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N滿足f(a)+f(b)+f(c)=0，那么映射f:M→N的個(gè)數(shù)是多少？
解：∵f(a)∈N，f(b)∈N，f(c)∈N，且f(a)+f(b)+f(c)=0，
∴有0+0+0=0+1+(－1)=0
當(dāng)f(a)=f(b)=f(c)=0時(shí)，只有一個(gè)映射；
當(dāng)f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個(gè)為0，而另兩個(gè)分別為1，－1時(shí)，有C
·A
=6個(gè)映射因此所求的映射的個(gè)數(shù)為1+6=7
題組二：
國(guó)際學(xué)校優(yōu)選 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
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