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1. 勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追同向勻速運(yùn)動(dòng)物體

若二者速度相等時(shí)，追趕者仍沒有追上被追趕者，則追趕者永遠(yuǎn)追不上被追趕者，此時(shí)二者有最小距離；若二者相遇時(shí)，追趕者的速度等于被追趕者的速度，則剛好追上，也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時(shí)，追趕者的速度仍大于被追趕者的速度，則還有一次被被追趕者追上追趕者的機(jī)會(huì)，其間速度相等時(shí)二者的距離有一個(gè)最大值。

3. 妙取參照物求解

例3：火車甲正以速度v₁向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前方距甲d處有火車乙正以較小速度v₂同向勻速行駛，于是他立即剎車，使火車做勻減速運(yùn)動(dòng)而停下。為了使兩車不相撞，加速度a應(yīng)滿足什么條件？

解析：設(shè)以火車乙為參照物，則甲相對(duì)乙做初速為、加速度為a的勻減速運(yùn)動(dòng)。若甲相對(duì)乙的速度為零時(shí)兩車不相撞，則此后就不會(huì)相撞。因此，不相撞的臨界條件是：甲車減速到與乙車車速相同時(shí)，甲相對(duì)乙的位移為d。

即：，

故不相撞的條件為

[模型要點(diǎn)]

追及、相遇問題特點(diǎn)：討論追及、相遇的問題，其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置問題。一定要抓住兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。一個(gè)條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。

[特別說明]

2. 巧用圖象法求解

例2：如圖1所示，聲源S和觀察者A都沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于地面的速率分別為和�？諝庵新曇魝鞑サ乃俾蕿�，設(shè)，空氣相對(duì)于地面沒有流動(dòng)。

圖1

(1)若聲源相繼發(fā)出兩個(gè)聲信號(hào)。時(shí)間間隔為，請(qǐng)根據(jù)發(fā)出的這兩個(gè)聲信號(hào)從聲源傳播到觀察者的過程。確定觀察者接收到這兩個(gè)聲信號(hào)的時(shí)間間隔。

(2)請(qǐng)利用(1)的結(jié)果，推導(dǎo)此情形下觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出的聲波頻率間的關(guān)系式。

解析：作聲源S、觀察者A、聲信號(hào)P(P₁為首發(fā)聲信號(hào)，P₂為再發(fā)聲信號(hào))的位移-時(shí)間圖象如圖2所示圖線的斜率即為它們的速度則有：

圖2

兩式相減可得：

解得

(2)設(shè)聲源發(fā)出聲波的振動(dòng)周期為T，這樣，由以上結(jié)論，觀察者接收到的聲波振動(dòng)的周期為

由此可得，觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出聲波頻率間的關(guān)系為

評(píng)點(diǎn)：圖象分速度圖象和位移圖象，位移圖線的斜率為速度，速度圖線的斜率為加速度，速度圖線與時(shí)間軸所圍的“面積”值，等于該段時(shí)間內(nèi)的位移大小。

[模型概述]

追及和相遇問題是一類常見的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，從時(shí)間和空間的角度來講，相遇是指同一時(shí)刻到達(dá)同一位置�？梢�，相遇的物體必然存在以下兩個(gè)關(guān)系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關(guān)系。若同地出發(fā)，相遇時(shí)位移相等為空間條件。二是相遇物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系。若物體同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若甲比乙早出發(fā)△t，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為。要使物體相遇就必須同時(shí)滿足位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系。

[模型講解]

1. 利用不等式求解

例1：甲、乙兩物體相距s，在同一直線上同方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后就保持靜止不動(dòng)。甲物體在前，初速度為v₁，加速度大小為a₁。乙物體在后，初速度為v₂，加速度大小為a₂且知v₁<v₂，但兩物體一直沒有相遇，求甲、乙兩物體在運(yùn)動(dòng)過程中相距的最小距離為多少？

解析：若是，說明甲物體先停止運(yùn)動(dòng)或甲、乙同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有兩物體都停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，才相距最近，可得最近距離為

若是，說明乙物體先停止運(yùn)動(dòng)那么兩物體在運(yùn)動(dòng)過程中總存在速度相等的時(shí)刻，此時(shí)兩物體相距最近，根據(jù)，求得

在t時(shí)間內(nèi)

甲的位移

乙的位移

代入表達(dá)式

求得

評(píng)點(diǎn)：本題是一個(gè)比較特殊的追及問題(減速追減速)。求解時(shí)要對(duì)各種可能的情況進(jìn)行全面分析，先要建立清晰的物理圖景。本題的特殊點(diǎn)在于巧妙地通過比較兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的長(zhǎng)短尋找兩物體相距最近的臨界條件。

例5. (05全國(guó)高考)如圖6所示，一對(duì)雜技演員(都視為質(zhì)點(diǎn))乘秋千(秋千繩處于水平位置)從A點(diǎn)由靜止出發(fā)繞O點(diǎn)下擺，當(dāng)擺到最低點(diǎn)B時(shí)，女演員在極短時(shí)間內(nèi)將男演員沿水平方向推出，然后自己剛好能回到高處A。求男演員落地點(diǎn)C與O點(diǎn)的水平距離s。已知男演員質(zhì)量m₁和女演員質(zhì)量m₂之比，秋千的質(zhì)量不計(jì)，秋千的擺長(zhǎng)為R，C點(diǎn)比O點(diǎn)低5R。

圖6

解析：設(shè)分離前男女演員在秋千最低點(diǎn)B的速度為，由機(jī)械能守恒定律，

設(shè)剛分離時(shí)男演員速度的大小為，方向與相同；女演員速度的大小為，方向與相反，由動(dòng)量守恒，

分離后，男演員做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)男演員從被推出到落在C點(diǎn)所需的時(shí)間為t，根據(jù)題給條件，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，

根據(jù)題給條件，女演員剛好回A點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律，，已知，由以上各式可得。

[模型演練]

(2005年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)在廣場(chǎng)游玩時(shí)，一個(gè)小孩將一充有氫氣的氣球用細(xì)繩系于一個(gè)小石塊上，并將小石塊放置于水平地面上。已知小石塊的質(zhì)量為，氣球(含球內(nèi)氫氣)的質(zhì)量為，氣球體積為V，空氣密度為ρ(V和ρ均視作不變量)，風(fēng)沿水平方向吹，風(fēng)速為v。已知風(fēng)對(duì)氣球的作用力(式中k為一已知系數(shù)，u為氣球相對(duì)空氣的速度)。開始時(shí)，小石塊靜止在地面上，如圖7所示。

(1)若風(fēng)速v在逐漸增大，小孩擔(dān)心氣球會(huì)連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會(huì)出現(xiàn)這一情況，并說明理由。

圖7

(2)若細(xì)繩突然斷開，已知?dú)馇蝻w上天空后，在氣球所經(jīng)過的空間中的風(fēng)速v保持不變量，求氣球能達(dá)到的最大速度的大小。

答案：(1)將氣球和小石塊作為一個(gè)整體；在豎直方向上，氣球(包括小石塊)受到重力G、浮力F和地面支持力F_N的作用，據(jù)平衡條件有：

由于式中F_N是與風(fēng)速v無關(guān)的恒力，而，故氣球連同小石塊不會(huì)一起被吹離地面。

(2)氣球的運(yùn)動(dòng)可分解成水平方向和豎直方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，達(dá)到最大速度時(shí)氣球在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，有

氣球在豎直方向做勻速運(yùn)動(dòng)，有：

氣球的最大速度：

聯(lián)立求解得：

例4. 偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝影像機(jī)至少應(yīng)拍地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)是多少？設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T。

解析：設(shè)衛(wèi)星周期為T₁，那么：

　　　　　　　　　 ①

又　　　　　 ②

有　　　　　　　 ③

地球自轉(zhuǎn)角速度為　　　　　　　　　　 ④

在衛(wèi)星繞行地球一周的時(shí)間T₁內(nèi)，地球轉(zhuǎn)過的圓心角為　　　　 ⑤

那么攝像機(jī)轉(zhuǎn)到赤道正上方時(shí)攝下圓周的弧長(zhǎng)為　　　　　　 ⑥

由①②③④⑤⑥得

例3. (2004年北京高考)如圖5是某種靜電分選器的原理示意圖。兩個(gè)豎直放置的平行金屬板帶有等量異號(hào)電荷，形成勻強(qiáng)電場(chǎng)，分選器漏斗的出口與兩板上端處于同一高度，到兩板距離相等�；旌显谝黄鸬腶、b兩種顆粒從漏斗出口下落時(shí)，a種顆粒帶上正電，b種顆粒帶上負(fù)電。經(jīng)分選電場(chǎng)后，a、b兩種顆粒分別落到水平傳送帶A、B上。

已知兩板間距d=0.1m，板的度，電場(chǎng)僅局限在平行板之間；各顆粒所帶電量大小與其質(zhì)量之比均為。設(shè)顆粒進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度為零，分選過程中顆粒大小及顆粒間的相互作用力不計(jì)。要求兩種顆粒離開電場(chǎng)區(qū)域時(shí)，不接觸到極板但有最大偏轉(zhuǎn)量。重力加速度g取。

圖5

(1)左右兩板各帶何種電荷？?jī)蓸O板間的電壓多大？

(2)若兩帶電平行板的下端距傳送帶A、B的高度H=0.3m，顆粒落至傳送帶時(shí)的速度大小是多少？

(3)設(shè)顆粒每次與傳送帶碰撞反彈時(shí)，沿豎直方向的速度大小為碰撞前豎直方向速度大小的一半。寫出顆粒第n次碰撞反彈高度的表達(dá)式。并求出經(jīng)過多少次碰撞，顆粒反彈的高度小于0.01m。

解析：(1)左板帶負(fù)電荷，右板帶正電荷。依題意，顆粒在平行板間的豎直方向上滿足

在水平方向上滿足：

兩式聯(lián)立得

(2)根據(jù)動(dòng)能定理，顆粒落到水平傳送帶上滿足

(3)在豎直方向顆粒作自由落體運(yùn)動(dòng)，它第一次落到水平傳送帶上沿豎直方向的速度

反彈高度

根據(jù)題設(shè)條件，顆粒第n次反彈后上升的高度：

當(dāng)時(shí)，

例2. (2005年上海高考)一水平放置的圓盤繞豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤上沿半徑開有一條寬度為2mm的均勻狹縫。將激光器與傳感器上下對(duì)準(zhǔn)，使二者間連線與轉(zhuǎn)軸平行，分別置于圓盤的上下兩側(cè)，且可以同步地沿圓盤半徑方向勻速移動(dòng)，激光器連續(xù)向下發(fā)射激光束。在圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)狹縫經(jīng)過激光器與傳感器之間時(shí)，傳感器接收到一個(gè)激光信號(hào)，并將其輸入計(jì)算機(jī)，經(jīng)處理后畫出相應(yīng)圖線。圖4(a)為該裝置示意圖，圖4(b)為所接收的光信號(hào)隨時(shí)間變化的圖線，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示接收到的激光信號(hào)強(qiáng)度，圖中。

(1)利用圖(b)中的數(shù)據(jù)求1s時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；

(2)說明激光器和傳感器沿半徑移動(dòng)的方向；

(3)求圖(b)中第三個(gè)激光信號(hào)的寬度△t₃。

圖4

解析：(1)由圖線讀得，轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，

角速度

(2)激光器和探測(cè)器沿半徑由中心向邊緣移動(dòng)(理由為：由于脈沖寬度在逐漸變窄，表明光信號(hào)能通過狹縫的時(shí)間逐漸減少，即圓盤上對(duì)應(yīng)探測(cè)器所在位置的線速度逐漸增加，因此激光器和探測(cè)器沿半徑由中心向邊緣移動(dòng))。

(3)設(shè)狹縫寬度為d，探測(cè)器接收到第i個(gè)脈沖時(shí)距轉(zhuǎn)軸的距離為r_i，第i個(gè)脈沖的寬度為△t_i，激光器和探測(cè)器沿半徑的運(yùn)動(dòng)速度為v。

由以上式聯(lián)立解得

評(píng)點(diǎn)：將直線運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)組合，在近年高考中出現(xiàn)率極高，如2000年全國(guó)高考中“激光束轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)小車的速度”等，破題的關(guān)鍵是抓住時(shí)間、空間的關(guān)聯(lián)。

例1. (04年廣東高考)一路燈距地面的高度為h，身高為的人以速度v勻速行走，如圖1所示。

(1)試證明人的頭頂?shù)挠白幼鲃蛩龠\(yùn)動(dòng)；

(2)求人影的長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化率。

圖1

解法1：(1)設(shè)t=0時(shí)刻，人位于路燈的正下方O處，在時(shí)刻t，人走到S處，根據(jù)題意有OS=vt，過路燈P和人頭頂?shù)闹本�與地面的交點(diǎn)M為t時(shí)刻人頭頂影子的位置，如圖2所示。OM為人頭頂影子到O點(diǎn)的距離。

圖2

由幾何關(guān)系，有

聯(lián)立解得

因OM與時(shí)間t成正比，故人頭頂?shù)挠白幼鲃蛩龠\(yùn)動(dòng)。

(2)由圖2可知，在時(shí)刻t，人影的長(zhǎng)度為SM，由幾何關(guān)系，有SM=OM-OS，由以上各式得

可見影長(zhǎng)SM與時(shí)間t成正比，所以影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化率。

解法2：本題也可采用“微元法”。設(shè)某一時(shí)間人經(jīng)過AB處，再經(jīng)過一微小過程，則人由AB到達(dá)A’B’，人影頂端C點(diǎn)到達(dá)C’點(diǎn)，由于則人影頂端的移動(dòng)速度：

圖3

可見與所取時(shí)間的長(zhǎng)短無關(guān)，所以人影的頂端C點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

評(píng)點(diǎn)：本題由生活中的影子設(shè)景，以光的直進(jìn)與人勻速運(yùn)動(dòng)整合立意。解題的核心是利用時(shí)空將兩種運(yùn)動(dòng)組合，破題的難點(diǎn)是如何借助示意圖將動(dòng)態(tài)過程靜態(tài)化，運(yùn)用幾何知識(shí)解答。

平拋運(yùn)動(dòng)：水平勻速、豎直方向自由落體

勻速圓周運(yùn)動(dòng)：

[模型講解]