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2.理解曲線的切線的概念;

§1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系;

2.導(dǎo)數(shù)的概念.

1.瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念.

3.例2中,計(jì)算第時(shí)和第時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它們的意義.

2.求曲線在時(shí)的導(dǎo)數(shù).

1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,求質(zhì)點(diǎn)在的瞬時(shí)速度為.

例1 (1)求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).

(2)求函數(shù)在附近的平均變化率,并求出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

分析: 先求,再求,最后求.

解: (1)法一 定義法(略)

　　 　　法二

(2)

例2 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第時(shí),原油的溫度(單位:)為,計(jì)算第時(shí)和第時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它們的意義.

解: 在第時(shí)和第時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

所以　 同理可得:

在第時(shí)和第時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為和,

說明在第附近,原油溫度大約以的速率下降

在第附近,原油溫度大約以的速率上升.

注: 一般地,反映了原油溫度在時(shí)刻附近的變化情況.

2.導(dǎo)數(shù)的概念

從函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是:

我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù),記作或

即

說明: (1)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率;

　　 　(2),當(dāng)時(shí),,所以.

1.瞬時(shí)速度

我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度,那么,如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如,時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？考察附近的情況:

思考: 當(dāng)趨近于時(shí),平均速度有什么樣的變化趨勢？

結(jié)論: 當(dāng)趨近于時(shí),即無論從小于的一邊,還是從大于的一邊趨近于時(shí),平均速度都趨近于一個(gè)確定的值.

從物理的角度看,時(shí)間間隔無限變小時(shí),平均速度就無限趨近于史的瞬時(shí)速度.因此,運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是

為了表述方便,我們用

表示“當(dāng),趨近于時(shí),平均速度趨近于定值”

小結(jié): 局部以勻速代替變速,以平均速度代替瞬時(shí)速度,然后通過取極限,從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值.