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  =[(y_n+x_n)－]²+ ． 由(Ⅱ)知 0<y_n+x_n<1．∴－ < y_n+x_n－ < ， ∴ < ()²+ =

其中。證明：；（III）證明：。

解: （I）∵f '(x)=3x²－2x+ = 3(x－)²+ >0 ， ∴f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)．

（II）∵0<x₀< ， 即x₁<x₀<y_1．又f(x)是增函數(shù)， ∴f(x₁)<f(x₀)<f(y₁)．即x₂<x₀<y₂．

又x₂=f(x₁)=f(0)=>0 =x₁， y₂=f(y₁)=f()=<=y₁，綜上， x₁<x₂<x₀<y₂<y₁．

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

(1)當(dāng)n=1時，上面已證明成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時有x_k<x_k+1<x₀<y_k+1<y_k ．

當(dāng)n=k+1時，由f(x)是單調(diào)增函數(shù)，有f(x_k)<f(x_k+1)<f(x₀)<f(y_k+1)<f(y_k)，∴x_k+1<x_k+2<x₀<y_k+2<y_k+1

由(1)(2)知對一切n=1，2，…，都有x_n<x_n+1<x₀<y_n+1<y_n．

（III） = = y_n²+x_ny_n+x_n²－(y_n+x_n)+ ≤(y_n+x_n)²－(y_n+x_n)+

（I）證明：是上的單調(diào)增函數(shù)；（II）設(shè)，

3、（06陜西22）已知函數(shù)，且存在，使。

下同解法1．

故當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

，與②式矛盾．

又由（Ⅱ）可得

即有．　　　　　②