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例1若3m+2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.

分析：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.

解：記3m+2n＝a①　　　 m－3n＝b②

3×②得3m－9n＝3b③

①－③得11n＝a－3b.　　 ∴n＝a－b④

將④代入②有：m＝b+3n＝a+b

評(píng)述：在此題求解過程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.

例2凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證＝(+).

解法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決.

過點(diǎn)C在平面內(nèi)作＝，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點(diǎn).

∴EF是△ADG的中位線，∴EF =,　 ∴＝.

而＝+＝+，

∴＝(+).

解法二：創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系

如圖，連EB，EC，則有＝+，

＝+，

又∵E是AD之中點(diǎn)，∴有+＝0.

即有+＝+；

以與為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由F是BC之中點(diǎn)，可得F也是EG之中點(diǎn).

∴＝＝(+)＝(+)

4．向量共線的充要條件

若有向量(¹)、，實(shí)數(shù)λ，使=λ，則與為共線向量

若與共線(¹)且||：||=μ，則當(dāng)與同向時(shí)=μ；　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　當(dāng)與反向時(shí)=-μ從而得

向量共線定理　 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ

3．運(yùn)算定律　 結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)　　　　　　　　 　　　　�、�

第一分配律：(λ+μ)=λ+μ　　　　　　　　　　 ②

第二分配律：λ(+)=λ+λ　　　　　　　 �、�

結(jié)合律證明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一個(gè)成立，則①式成立

如果λ¹0，μ¹0，¹有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||

|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||

　　 　∴|λ(μ)|=|(λμ)|

如果λ、μ同號(hào)，則①式兩端向量的方向都與同向；

如果λ、μ異號(hào)，則①式兩端向量的方向都與反向

　 從而λ(μ)=(λμ)

第一分配律證明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一個(gè)成立，則②式顯然成立

如果λ¹0，μ¹0，¹

當(dāng)λ、μ同號(hào)時(shí)，則λ和μ同向，

∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||

|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||

∵λ、μ同號(hào) ∴②兩邊向量方向都與同向

　　　　 即　 |(λ+μ)|=|λ+μ|

當(dāng)λ、μ異號(hào)，當(dāng)λ>μ時(shí) ②兩邊向量的方向都與λ同向；當(dāng)λ<μ時(shí) ②兩邊向量的方向都與μ同向，且|(λ+μ)|=|λ+μ|

∴②式成立

第二分配律證明：

如果=，=中至少有一個(gè)成立，或λ=0，λ=1則③式顯然成立

當(dāng)¹，¹且λ¹0，λ¹1時(shí)

(1)當(dāng)λ>0且λ¹1時(shí)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，

作　 　　λ　 λ　　

則+　　 λ+λ

由作法知 ，∥有ÐOAB=ÐOA₁B₁ 　　||=λ||

∴λ　　 ∴△OAB∽△OA₁B₁

∴λ ÐAOB=Ð A₁OB₁

因此，O，B，B₁在同一直線上，||=|λ|　 與λ方向也相同

∴λ(+)=λ+λ　　

當(dāng)λ<0時(shí) 可類似證明：λ(+)=λ+λ　

∴ ③式成立

2．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作：λ

(1)|λ|=|λ|||

(2)λ>0時(shí)λ與方向相同；λ<0時(shí)λ與方向相反；λ=0時(shí)λ=

1．示例：已知非零向量，作出++和(-)+(-)+(-)

　 ==++=3

==(-)+(-)+(-)=-3

(1)3與方向相同且|3|=3||；(2)-3與方向相反且|-3|=3||

11．差向量的意義： = a,　 = b, 則= a - b

　　 即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量

10．向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差即：a - b = a + (-b)　

9．向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)

8．向量加法的交換律：+=+

7.向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法則和平行四邊形法則