6.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(或前幾項)及相鄰兩項(或幾項)間關(guān)系可以用一個公式來表示，則這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，其關(guān)健是先求出a1,a2,然后用遞推關(guān)系逐一寫出數(shù)列中的項.
5. 無窮數(shù)列:項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列
4. 有窮數(shù)列:項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列.
3.通項公式：一般地，如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.
2.項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(或首項)，第2項，…，第n項，….
1.數(shù)列：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.
在初中幾何中我們曾經(jīng)學(xué)過“點到直線的距離以垂線為最短。”此結(jié)論對于求極小值問題，是一條捷徑。
例6如圖1-1所示，船A從港口P出發(fā)去攔截正以速度υ0沿直線航行的船B 。P與B所在航線的垂直距離為a，A起航時與B船相距為b，b>a 。如果略去A船起動時的加速過程，認(rèn)為它一起航就勻速運動。則A船能攔截到B船的最小速率為多少？
分析與解：分析本題是兩個運動物體求它們之間的相對位置的問題。若以地球為參照系，兩個物體都運動，且運動方向不一致，它們之間的相對位置隨時間變化的關(guān)系比較復(fù)雜，一時不容易做出正確的判斷與解答。但如果把參照系建立在某一運動的物體上，(如B上)由于以誰為參照系，就認(rèn)為誰不動，此題就簡化為一個物體，(如A)在此運動參照系的運動問題了。當(dāng)然解一個物體的運動問題比解兩個物體都運動的問題自然容易多了。
以B為參照系，B不動，在此參照系中A將具有向左的分速度υ0，如圖1-2所示。在此參照系中A只要沿著PB方向就能攔截到B 。應(yīng)用“點到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過O點作PB的垂線，交PB于E點，OE即為A船對地的速度的最小值υA，在△AOE中
∵υA=υ0Sinθ 而 
∴
，由于靈活運用了幾何知識，使較為復(fù)雜的問題，變?yōu)楹唵蔚膸缀螁栴}了。
例7如圖1-3所示，重為G的物體與水平地面的動摩擦因數(shù)為μ，欲以一個拉力F使物體沿地面勻速前進。問F與水平地面的夾角θ為何值時最省力？這個最小拉力是多大？ 分析與解：畫出物體的受力分析圖，如圖1-4所示。物體受到四個力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面對物體的滑動摩擦力f，其中f=Nμ。這四個力為共點力，合力為零�？蓪與f合成為一個力N′，N與f的作用將被N′等效，N′與N、f的關(guān)系滿足平行四邊形法則。再畫出物體受N′、G、F的力的矢量三角形，如圖1-5所示。N′的方向如圖，應(yīng)用“點到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過B點作N′的垂線交N′于C點，則BC的長度即表示最小作用力Fmin，由于Fmin與水平面夾角為θ,
∴∠CAB=∠θ Fmin=Gsinθ
由圖1-6可知，
即
θ=arctanμ
幾何法一般用于求極小值問題，其特點是簡單、直觀，把物體運動的較為復(fù)雜的極值問題，轉(zhuǎn)化為簡單的幾何問題去解，便于學(xué)生掌握。
以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在使用中，還要注意題目中的條件及“界”的范圍。求最大和最小值問題，這類問題往往是物理學(xué)公式結(jié)合必要的數(shù)學(xué)知識才得出結(jié)論，這就要求學(xué)生不僅理解掌握物理概念、規(guī)律，還要具備較好的運用數(shù)學(xué)解決問題的能力。
解決極值問題的關(guān)鍵是扎實掌握高中物理的基本概念，基本規(guī)律，在分析清楚物理過程后，再靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。
綜上所述，無論采用何種方法解物理極值問題，首先都必須根據(jù)題意，找出符合物理規(guī)律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問題的核心，決不能盲目地將物理問題純數(shù)學(xué)化。
(二)利用“化一”法求三角函數(shù)極值。對于復(fù)雜的三角函數(shù)，例如
，要求極值時,先需要把不同名的三角函數(shù) 
和
，變成同名的三角函數(shù)，這個過程叫做“化一”。
令 
，則有
y
y
故 y的極大值為 
。
例題4 物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運動，所用的最小拉力F為多大？
該題的已知量只有 μ和G，說明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有μ和G，但是，物體沿水平地面做勻速直線運動時，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據(jù)題意先找到F與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析。
解：設(shè)拉力 F與水平方向的夾角為θ，根據(jù)題意可列平衡方程式，
即 
……①
……②
…………③
由聯(lián)立①②③解得：
,
其中 
,∴ 
四 利用向量求極值
向量就是物理學(xué)中的矢量，當(dāng)物體受三力平衡時，將三矢量首尾相連后，必定構(gòu)成三角形。利用點到直線的垂直線段最短可求極值。
對于例題 4，我們也可用矢量知識求極值。
將摩擦力 f和地面對木塊的彈力N合成一個力F'，如圖，F(xiàn)'與豎直方向的夾角為
(為一定值)。這樣木塊可認(rèn)為受到三個力:重力G,桌面對木塊的作用力F'和拉力F的作用。盡管F大小方向均未確定，F(xiàn)'方向一定，但大小未定，但三力首尾相連后必構(gòu)成三角形，如右圖所示。只用當(dāng)F與F'垂直時，即拉力與水平方向成 
角時，拉力F最小為 
而 
故 
五 用圖像法求極值
通過分析物理過程遵循的物理規(guī)律，找到變量之間的函數(shù)關(guān)系，做出其圖像，由圖像可求得極值。
例 5 從車站開出的汽車作勻加速運動，它開出一段時間后，突然發(fā)現(xiàn)有乘客未上車，于是立即制動做勻減速運動，結(jié)果汽車從開動到停下來共用20秒，前進了50米。求這過程中汽車達(dá)到的最大速度。
解：設(shè)最大速度為 V m ,即加速階段的末速度為V m 。
畫出其速度時間圖象如右圖所示，圖線與 t軸圍成的面積等于位移。即
即： 
(一)利用三角函數(shù)的有界性求極值
如果所求物理量表達(dá)式中含有三角函數(shù)，可利用三角函數(shù)的有界性求極值。若所求物理量表達(dá)式可化為“ 
”的形式，可變?yōu)?
，
當(dāng) 
時，
有極值
。
例 3如圖所示,底邊恒定為b,當(dāng)斜面與底邊所成夾角θ為多大時,物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時間才最短?
此題的關(guān)鍵是找出物體從斜面頂端滑至底端所用時間與夾角的關(guān)系式 ,這是一道運動學(xué)和動力學(xué)的綜合題,應(yīng)根據(jù)運動學(xué)和動力學(xué)的有關(guān)知識列出物理方程。
解：設(shè)斜面傾角為θ時，斜面長為 S，物體受力如 圖所示，由圖知
…………………①
由勻變速運動規(guī)律得： 
…………②
由牛頓第二定律提： mgsinθ=ma…………③
聯(lián)立①②③式解得：
可見，在 90°≥θ≥0°內(nèi)，當(dāng)2θ=90°時，sin2θ有最大值，t有最小值。
即θ =45°時，有最短時間為： 
(二)如果a，b，c為正數(shù)，則有 
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，上式取“=”號。
推論：
1.三個正數(shù)的積一定時，三數(shù)相等時，其和最小。
2.三個正數(shù)的和一定時，三數(shù)相等時，其積最大。
例 2一輕繩一端固定在O點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度的釋放，如圖所示，小球在運動至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值？
解：當(dāng)小球運動到繩與豎直方向成θ角的 C時，重力的功率為：
P=mgυcosα=mgυsinθ…………①
小球從水平位置到圖中 C位置時，機械能守恒有：
……………②
解①②可得： 
令 y=cosθsin2θ
根據(jù)基本不等式
，定和求積知：
當(dāng)且僅當(dāng)
，y有最大值
由此我們可以得出結(jié)論：當(dāng)
時，y及功率P有最大值。
三 利用三角函數(shù)求極值
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