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2．例2．已知三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊和的長分別為和，側棱的長為，求滿足下列條件的三棱柱的體積：

(1)　　 側棱垂直于底面；

(2)　　 側棱與底面所成的角為．

解：(1)因為側棱底面，所以三棱柱的高等于側棱的長，而底面三角形的面積，于是三棱柱的體積

．

(2)如圖所示，過作平面的垂線，垂足為，

于是為三棱柱的高．因為側棱與底面所成的角為，所以,可計算得

又由(1)可知底面三角形的面積，故三棱柱的體積

1．引例的解答：這是一個底面是梯形的直四棱柱的體積問題．

．

8．祖暅原理的簡單應用：

(1)　　 底面積和高都相等的圓柱和長方體的體積相等嗎？

(2)　　 底面積和高都相等的斜六棱柱和三棱錐的體積相等嗎？

7． 介紹祖沖之父子及我國古代數學家和西方數學家對幾何體體積的研究：

中國古代數學，在魏晉南北朝達到新的高峰．這一時期的代表人物是劉徽(公元263年左右)、祖沖之(429－500)和他的兒子祖暅．劉徽為《九章算術》作注，祖沖之父子在此基礎上撰寫了《綴術》等著作．祖沖之精確地計算圓周率，提出約率和密率，是世界數學史上的重大成就．他們三人還先后研究并最終給出了球的體積公式．在這過程中，他們利用了“夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異”的原理，唐朝的李淳風在為《九章算術》作注時稱求球體體積公式的方法是“祖暅之開立園術”，祖暅之即祖暅，因此我國稱之為祖暅原理．意大利數學家卡瓦列里1635年提出了相同的原理，西方稱之為卡瓦列里原理，為微積分學創(chuàng)立作了準備．

6． 利用祖暅原理推導棱柱體積公式：

(1)利用祖暅原理推導棱柱體積，需要構造一個幾何體，此幾何體必須符合兩個條件：它的計算公式是已知的；它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與棱柱能夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截它們時，截得的截面面積總相等．

(2)方法：如果一個棱柱與一個長方體的高相同(都為)且底面面積相等(都為)，那么當我們用一個與底面平行的平面去截它們時，可以證明截面的面積都等于各自底面的面積，根據祖暅原理可知，棱柱的體積與長方體的體積相等，即，其中表示棱柱的體積，表示棱柱底面的面積，表示棱柱的高．

5．祖暅原理：“夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異”．

(1)內容解釋：這里的“冪”是指水平截面的面積，“勢”是指高．

即體積可看成是由面積疊加而成，用一組平行平面截兩個空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對應相等，則兩空間圖形的體積必然相等．

還可表達為：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．(我國古代數學家祖暅在實踐的基礎上，明確肯定了這一點)

(2)由“面積都相等”推出“體積相等”，體會辯證法的思想．

(3)祖暅原理實際上是一個定理，但證明它需要用到高等數學的相關知識，中學階段不能證明．它只能判定兩個幾何體是否等積，不能用它具體求出某幾何體的體積．要想完成求體積的任務，還必須已知一個幾何體的體積作為基礎．

(4)幾何畫板動態(tài)演示任意一個平面截兩個幾何體所得截面的各種位置．

4．祖暅原理的引入--利用“小試驗”驗證以上猜想：

(1)取一疊裁切相同的紙張堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改變其形狀．

啟發(fā)思考：

1)　　　 推斜以后體積變化了嗎？(幾何體所占空間的大小不變)

2)　　　 推斜前后的兩個幾何體(前為長方體，后為平行六面體)還有什么共同之處？(高度沒有改變，每頁紙張的順序和面積也沒有改變)

3)　　　 這種共同之處是不是就是兩個幾何體體積相等的條件呢？

(2)用一摞不同的書，推移成各種形狀，繼續(xù)探討結論是否正確．(不一定是棱柱)

(3)由學生總結歸納出祖暅原理的大致內容．

3．從平面到空間的類比猜想：(利用幾何畫板的動態(tài)演示)

(1)等底等高的長方形和平行四邊形的面積有何關系？

(2)等底等高的三角形的面積有何關系？

(3)等底等高的梯形的面積有何關系？

結論：根據面積公式我們可以得到面積均相等．初中我們學過的面積公式的推導是因為任意平面多邊形(直邊形)都可以用割補的方法轉化為長方形的面積得到．在利用幾何畫板動態(tài)演示的過程中，我們發(fā)現，用平行于底邊的任意直線截兩個平面圖形得到的截線長度總相等．

啟發(fā)思考：這是否可以成為兩個平面圖形面積相等的條件呢？

繼續(xù)探究：線是由無窮多個點構成的，面是由無窮多條線構成的，立體是由無窮多個平面構成的．因此我們可以得到：夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形，被平行于這兩條直線的任意直線所截，如果所得的兩條截線長度相等，那么，這兩個平面圖形的面積相等．

猜想：類比到兩個空間圖形體積相等的條件有什么相似的結論呢？用平行于底面的任意平面截兩個空間圖形得到的截面面積總相等，則這兩個空間圖形的體積相等．

2．進一步考慮正方體、長方體的體積公式的來龍去脈：

(1)請學生談談對體積的理解，并小結：幾何體占空間部分的大小叫做它的體積．

(2)　　 提問：體積是如何度量的？(類比長度的度量和面積的度量)

學生討論后小結：

1)我們在度量長度時，有一個標準，比如說，1米，1厘米等；將一段線段用1厘米來截，看這個線段是1厘米的多少個倍數，就是這個線段有多少厘米．5倍就是5厘米，1.5倍就是1.5厘米．

2)在度量面積時，也有一個標準，比如說1平方米即邊長為1米的正方形作為1個單位面積，去度量平面圖形的面積．因此，我們容易得到正方形的面積等于棱長的平方，長方形的面積等于底乘以高．因為任意多邊形都可以分割成若干個三角形，三角形可以補成平行四邊形，平行四邊形可以割補成長方形，所以任意平面多邊形的面積都可以度量．(直邊形)

3)在體積中，我們也要先選定一個單位，用來度量體積，然后求出幾何體是單位體積的多少倍，多少個倍數就是幾何體的體積數值．通常把棱長等于單位長度的正方體所占空間的大小作為一個體積單位．只要直接把單位正方體盡可能地堆在所量的幾何體內，來確定所量幾何體的體積的量數．因此我們容易得到正方體和長方體的體積公式，但是不容易得到一般棱柱的體積公式．(可以先把一般棱柱分割成三棱柱，三棱柱補成平行六面體，平行六面體割補成長方體)

4)如何找到長方體的體積和一般棱柱的體積之間的關系？

1．從已知到未知，從特殊到一般：

首先想到已經學過的正方體、長方體的體積公式，然后探究一般棱柱的體積公式．

(1)(－棱長)；

(2)_長方體(－長，－寬，－高，－底面積)