6．一般的隨機(jī)事件的概率及其分布列
例13．(2008北京理18)
某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)(以下簡稱活動(dòng))．該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
(I)求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；
(II)從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率．
(III)從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用
表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望
．
分析：首先要把圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言，變?yōu)橐阎獥l件，轉(zhuǎn)化信息，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等會(huì)分三種情況，即都參加1項(xiàng)，2項(xiàng)或3項(xiàng)公益活動(dòng)，分別計(jì)算合并，(III)中注意隨機(jī)變量的含義為表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，列出所有可能情況求出。
解：由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40．
(I)該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為
．
(II)從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為
．
(III)從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件
，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件
，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件
．易知
；
；
的分布列：
|
|
0 |
1 |
2 |
 |
 |
 |
 |
的數(shù)學(xué)期望：
．
評(píng)注：解決本題的關(guān)鍵是要讀懂題意，注意圖形語言的轉(zhuǎn)化和題目所要求的要解決的問題。
例14．(2008重慶卷,理18)甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為
，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求：
(Ⅰ) 打滿3局比賽還未停止的概率；
(Ⅱ)比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E.
分析：打滿3局比賽還未停止，說明三人中沒有連續(xù)獲勝的，即第一局如果甲獲勝，則第二局丙獲勝，第三局乙獲勝，對(duì)應(yīng)一種情況；同理，第一局如果乙獲勝也對(duì)應(yīng)一種情況。比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)最少兩局，最多六局，可以分別按前面的做法交叉進(jìn)行下去，一一計(jì)算。
解：令
分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.
(Ⅰ)由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知，打滿3局比
賽還未停止的概率為
(Ⅱ)
的所有可能值為2，3，4，5，6，且
故有分布列
 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
P |
 |
 |
 |
 |
|
從而
(局).
評(píng)注：本題中的隨機(jī)事件的概率，只能分別按實(shí)際情況分類計(jì)算。
5．超幾何分布
例12．(2008全國II理18)從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率
．
(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率
；
(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列．
分析：本題已知“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率，求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率，可以用表示出至多有1件是二等品的概率，分兩種情況，取出的2件產(chǎn)品中無二等品，和取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品，利用互斥事件的概率公式求出。(2)中的所有取值列出，總體中有特殊，所以是超幾何分布類型，按照要求取出求出分布列。
解：(1)記
表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”， 
表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”． 則
互斥，且
，故 
， 于是
．
解得
(舍去)．
(2)的可能取值為
．
若該批產(chǎn)品共100件，由(1)知其二等品有
件，故
． 
．
．
所以的分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
 |
 |
 |
評(píng)注：本題為超幾何分布，是總體中有特殊，能否取到特殊元素，取幾個(gè)等問題按個(gè)數(shù)求的分布列，其實(shí)質(zhì)就是按要求取元素的過程。
4．兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)的概率
例9．(2008安徽卷，理19)為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了
株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為
，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望
，標(biāo)準(zhǔn)差
為
。
(Ⅰ)求
的值并寫出的分布列；
(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率
分析：一株沙柳要么成活，要么不成活，屬于兩點(diǎn)分布，對(duì)于株沙柳來說就是二項(xiàng)分布，可用公式直接表示數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差，求出的值并寫出的分布列，3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，可以從正面解答，也可從反面解答，轉(zhuǎn)化為不需要補(bǔ)種的問題。
解：(1)由
得
,
從而
，的分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
 |
 |
 |
 |
|
|
|
(2)記”需要補(bǔ)種沙柳”為事件A,
則
得
或 
評(píng)注：本題為比較簡單的二項(xiàng)分布問題，直接運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算即可。要對(duì)二項(xiàng)分布列必須熟悉。
例10．(08山東卷，理18)甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者對(duì)本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為
，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為
，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用表示甲隊(duì)的總得分．
(Ⅰ)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(Ⅱ)用表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求
．
分析：甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，表示甲隊(duì)的總得分，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率都不同，各人回答正確與否相互之間沒有影響，事件
為相互獨(dú)立事件，事件
是甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3，事件
是甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分，則
就是甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3且甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分的事件，所以甲、乙兩隊(duì)的分?jǐn)?shù)之間有聯(lián)系，可以先確定一個(gè)，再確定另一個(gè)，從而分類求得。
(Ⅰ)解法一：由題意知，的可能取值為0，1，2，3，且
，
，
，
．
所以的分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
 |
 |
 |
 |
的數(shù)學(xué)期望為
．
解法二：根據(jù)題設(shè)可知，
，
因此的分布列為
，
．
因?yàn)?sub>，所以
．
(Ⅱ)解法一：用表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用
表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以
，且
互斥，又
，
，
由互斥事件的概率公式得
．
解法二：用
表示“甲隊(duì)得
分”這一事件，用
表示“乙隊(duì)得分”這一事件，．
由于事件
，
為互斥事件，故有
．
由題設(shè)可知，事件
與
獨(dú)立，事件
與
獨(dú)立，因此
．
評(píng)注：本題中涉及到兩個(gè)隊(duì)，情況比較復(fù)雜，要學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，仔細(xì)分析題目，由淺入深，排除干擾，抓住問題的實(shí)質(zhì)解答問題。另外還要看到兩隊(duì)之間的聯(lián)系，從而找到解決問題的策略。分類討論做到不重不漏。
例11．(2008全國二，理18)購買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)
元，若投保人在購買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為
．
(Ⅰ)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率；
(Ⅱ)設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元)．
分析：由一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立，可知這些保險(xiǎn)是服從二項(xiàng)分布的；保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，盈利就是該險(xiǎn)種總收入減去成本和賠償金總額，而賠償金總額與出險(xiǎn)的人數(shù)為有關(guān)由(Ⅰ)知服從二項(xiàng)分布，從而計(jì)算出盈利的期望。
解：各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是，記投保的10 000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為，則
．
(Ⅰ)記表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10 000元賠償金，則
發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)
， 
，
又
，故
．
(Ⅱ)該險(xiǎn)種總收入為
元，支出是賠償金總額與成本的和．
支出
，
盈利
，
盈利的期望為 
，
由
知，
，
．
(元)．
故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元．
評(píng)注：本題中的數(shù)學(xué)環(huán)境是以保險(xiǎn)為背景考查二項(xiàng)分布列，對(duì)于學(xué)生來說有些陌生，不易理解，而第二問又是間接地解答問題，所以本題難度較大。
3．互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率
例6．(2008四川卷，理18) 設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為
，購買乙種商品的概率為
，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的。
(Ⅰ)求進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；
(Ⅱ)求進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；
(Ⅲ)記表示進(jìn)入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望。
分析：購買甲、乙兩種商品是相互獨(dú)立的，1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種有兩種情況，買甲不買乙或買乙不買甲，又是互斥事件，按互斥事件的概率進(jìn)行計(jì)算；進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，對(duì)于至少問題，可以正面計(jì)算，也可以反面計(jì)算；進(jìn)入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)可以為0，1，2，3，應(yīng)該是(Ⅱ)的二項(xiàng)分布
解：記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲種商品，
記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品，
記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，
記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，
(Ⅰ)
， 
(Ⅱ)
，
(Ⅲ)
，故的分布列
，
，
， 所以
評(píng)注：此題重點(diǎn)考察相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，以及求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；
分清相互獨(dú)立事件的概率求法，對(duì)于“至少”常從反面入手常可起到簡化的作用。
例7．(2008天津卷，文18)甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為
與，且乙投球2次均未命中的概率為
．
(Ⅰ)求乙投球的命中率；
(Ⅱ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；
(Ⅲ)若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率．
分析：乙投球2次均未命中的概率為，求乙投球的命中率，屬于逆向思維，列出方程解出即可。甲投球2次，至少命中1次，對(duì)于“至少”問題可以正面解答，也可以反面解答。甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次，應(yīng)該有多種情況，分類計(jì)算。
(Ⅰ)解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B．
由題意得
解得
或
(舍去)，所以乙投球的命中率為
．
解法二：設(shè)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B．
由題意得
，于是
或
(舍去)，故
．
所以乙投球的命中率為．
(Ⅱ)解法一：由題設(shè)和(Ⅰ)知
．
故甲投球2次至少命中1次的概率為
解法二：由題設(shè)和(Ⅰ)知
故甲投球2次至少命中1次的概率為
(Ⅲ)由題設(shè)和(Ⅰ)知，
甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2次。概率分別為
，
，
所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2次的概率為
．
評(píng)注：本小題是概率部分的常規(guī)題目，主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，分類要做到不重不漏。
例8．(江蘇省鹽城中學(xué)2008)某城市有甲、乙、丙、丁4個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這4個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響．設(shè)表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．
(Ⅰ)求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(Ⅱ) 記“函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率．
分析：“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客人游覽丙景點(diǎn)” 、“客人游覽丁景點(diǎn)” 是相互獨(dú)立的，按相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望�！昂瘮�(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”，可以得到二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，從而得到
的范圍。
解：(1)分別設(shè)“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客人游覽丙景點(diǎn)” 、
“客人游覽丁景點(diǎn)”為事件
,由已知相互獨(dú)立，
且
客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4;相應(yīng)的，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為4，3，2，1,0.所以的可能取值為0，2, 4
所以的分布列為
|
|
0 |
2 |
4 |
|
P |
0.3456 |
0.4992 |
0．1552 |
(2)因?yàn)?sub>
所以函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增．要使
在
上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)
即
從而
評(píng)注：本題是相互獨(dú)立事件的概率的求法，注意隨機(jī)變量的取值要一一列出，并求出各種情況的概率，列出分布列。另外本題還與函數(shù)相結(jié)合計(jì)算概率。
2.幾何概型
例3．(2008江蘇卷，6)在平面直角坐標(biāo)系
中，設(shè)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，
是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投點(diǎn)在中的概率是
分析：本小題考查古典概型，其概率應(yīng)為幾何圖形的面積比。
如圖：區(qū)域D 表示邊長為4 的正方形的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E 表示單位圓及其內(nèi)部，因此．
答案：
評(píng)注：在解決幾何概型問題時(shí)，要弄清整個(gè)事件的區(qū)域長度(面積或體積)，以及所研究事件的區(qū)域長度(面積或體積)，特別是平面幾何圖形的構(gòu)成常常是考查的焦點(diǎn)，有可能與定積分相聯(lián)系。
例4．(2008寧夏銀川一中)如圖所示，墻上掛有一邊長為
的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正
方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為
的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，
則他擊中陰影部分的概率是 ( )
A．
B．
C．
D．與的取值有關(guān)
分析：本小題考查古典概型，其概率應(yīng)為幾何圖形的面積比。其中陰影部分的面積要通過規(guī)則的圖形的面積求出，即正方形的面積去掉一個(gè)圓的面積。
解：正方形的面積為
，而四個(gè)角空白部分合起來為半徑為的一個(gè)圓，面積為
，所以他擊中陰影部分的概率是
，故選A。
答案：A
評(píng)注：在解決幾何概型問題時(shí)，對(duì)于不規(guī)則圖形的面積要通過求定積分或規(guī)則圖形的面積求出。
例5．(2007寧夏卷，文20)設(shè)有關(guān)于
的一元二次方程
．
(Ⅰ)若是從
四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，
是從
三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．
(Ⅱ)若是從區(qū)間
任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間
任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．
分析：一元二次方程有實(shí)根的條件為
，即
。題(Ⅰ)可用列舉法列出所有的基本事件，找出符合條件的基本事件。題(Ⅱ)就是幾何概型�？勺鞒鲈囼�(yàn)的總區(qū)域，和符合條件的區(qū)域，應(yīng)該是把
看作有序數(shù)對(duì)
對(duì)于平面上的點(diǎn)，可畫出平面區(qū)域解答。
解：設(shè)事件為“方程
有實(shí)根”．
當(dāng)
，
時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為．
(Ⅰ)基本事件共12個(gè)：
．其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值．
事件中包含9個(gè)基本事件，事件發(fā)生的概率為
．
(Ⅱ)試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?sub>
．
構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)?sub>
．
所以所求的概率為
．
評(píng)注：本題容納了古典概型和幾何概型的解法，要善于區(qū)分提煉，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把數(shù)組看成平面內(nèi)的點(diǎn)即可轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域問題用面積解答。
1．古典概型
例1．(2008海南卷，文19)為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況，調(diào)查部門對(duì)某校6名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．6人得分情況如下：5，6，7，8，9，10．
把這6名學(xué)生的得分看成一個(gè)總體．
(Ⅰ)求該總體的平均數(shù)；
(Ⅱ)用簡單隨機(jī)抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名，他們的得分組成一個(gè)樣本．求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率．
分析：本題為古典概型，先計(jì)算出總體平均數(shù)，列出所有的抽取情況，再從中找出符合條件的即兩人的得分平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的所有情況。
解：(Ⅰ)總體平均數(shù)為
(Ⅱ)設(shè)表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5”．
從總體中抽取2個(gè)個(gè)體全部可能的基本結(jié)果有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．共15個(gè)基本結(jié)果．事件包括的基本結(jié)果有：，，，，，，．共有7個(gè)基本結(jié)果．所以所求的概率為
．
評(píng)注：文科關(guān)于概率大題的考查基本上列舉法，即列出所有的基本事件，從中找出滿足要求的基本事件，然后求出它們的個(gè)數(shù)比即可。
例2．(2008山東淄博，理)一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：
.
(Ⅰ)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；
(Ⅱ)現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
分析：本題中每一張卡片被抽取到是等可能的，可利用排列組合的知識(shí)隨機(jī)抽取和按要求無放回的抽取，從而計(jì)算出每個(gè)事件的概率，列出分布列求出數(shù)學(xué)期望。
解：(Ⅰ)記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知 
.
(Ⅱ)ξ可取1，2，3，4
故ξ的分布列為
|
ξ |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
P |
|
 |
 |
 |
答：ξ的數(shù)學(xué)期望為
．
評(píng)注：在解答本題時(shí)，要弄清隨機(jī)變量的所有取值情況，題目中有三個(gè)奇函數(shù)，三個(gè)偶函數(shù)，所以最多取4次就一定能取到記有偶函數(shù)的卡片，從而停止抽取。注意不放回地抽取，上一次的抽取結(jié)果會(huì)影響下一次的抽取，即下一次的總體個(gè)數(shù)減少。
19.(08四川延考)已知
，
為空間中一點(diǎn)，且
，則直線
與平面
所成角的正弦值為 。
[答案]:由對(duì)稱性點(diǎn)在平面內(nèi)的射影
必在
的平分線上作
于
，連結(jié)
則由三垂線定理
，
設(shè)
，又
,所以
，因此直線與平面所成角的正弦值
20(08湖南理)
.對(duì)有n(n≥4)個(gè)元素的總體
進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體
和
(m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2),再從
每個(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本.用
表示元素i和j同時(shí)出現(xiàn)在樣
本中的概率，則
=
; 所有 (1≤i＜j≤
的和等于
.
[答案]:
第二空可分:
①當(dāng) 
時(shí), 
;
②當(dāng) 
時(shí), 
;
③當(dāng)
時(shí), 
;
所以
18.(08四川延考)已知函數(shù)
在
單調(diào)增加，在
單調(diào)減少，則
。
[答案]:由題意
又
，令
得
。(如
，則
，
與已知矛盾)
17.(08四川延考)設(shè)等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且
。若
，則
。
[答案]:
，取特殊值
令
，所以
16.(08四川延考)函數(shù)
的反函數(shù)為 。
[答案]:
，所以反函數(shù)
，
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