1、方程、不等式、函數(shù)的類型的確定
例1．(山東文登三中2009)
至少有一個(gè)正的實(shí)根的充要條件是 ( )
A．
B．
C．
D．
分析：先確定方程的類型，需要按
的取值分類，對于二次方程研究根的情況，一般要轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)和二次不等式(組)解出。
解：當(dāng)
時(shí)，方程為
，滿足。當(dāng)
時(shí)，至少有一個(gè)正的實(shí)根，設(shè)
，當(dāng)
時(shí)，∵
，∴一定有一個(gè)正的實(shí)根；當(dāng)
時(shí)，∵，∴
即
，綜上，故選B
答案：B
評注：對于函數(shù)、方程、不等式問題，要先判斷其類型，而對于二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間常常相互轉(zhuǎn)化，并借助函數(shù)的圖象，得到方程或不等式(組)解出。
例2．(2008山東省泰安市)已知函數(shù)
．
(1)當(dāng)
時(shí)，證明函數(shù)
只有一個(gè)零點(diǎn)；
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：要證此類函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，就要通過求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)后由于函數(shù)中含有參數(shù)，那么它的導(dǎo)數(shù)要與參數(shù)的取值有關(guān)，所以單調(diào)性的判斷要隨參數(shù)的變化而變化，需要對其去值進(jìn)行分類討論。
解：(1)當(dāng)時(shí)，
，其定義域是
，
令
，即
，
解得
或
． 
，
舍去．
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
．
∴函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴當(dāng)
時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為
．
當(dāng)
時(shí)，
，即
． ∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．
(2)法一：因?yàn)?sub>
其定義域?yàn)?sub>，
所以
①當(dāng)時(shí)，
在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意
②當(dāng)時(shí)，
等價(jià)于
，即
．
此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為
．依題意，得
解之得
．
③當(dāng)時(shí)，等價(jià)于
，即
·
此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為
，
得
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是
法二：
由在區(qū)間
上是減函數(shù)，可得
在區(qū)間上恒成立．
① 當(dāng)
時(shí)，
不合題意
�、� 當(dāng)
時(shí)，可得
即
評注：對于函數(shù)、不等式、方程的類型不確定時(shí)，就要對其參數(shù)進(jìn)行討論。而對于二次不等式恒成立問題可以借助的圖象進(jìn)行分類轉(zhuǎn)化�！ �
8.預(yù)測題
(1)．(原創(chuàng))向量
，
，其中
，
，則函數(shù)
的值域?yàn)? )
分析：先由已知求出的解析式，再由定義域結(jié)合函數(shù)的圖象求出值域
解：∵，
，∵ ∴選
評注：求函數(shù)的值域一定要在函數(shù)的定義域內(nèi)結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決。
(2)．(原創(chuàng))已知
是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的二次函數(shù)，且方程
有一個(gè)根
，則不等式
的解集是(
)
A．
B．
C．
D．
分析：可以根據(jù)函數(shù)的圖象和對稱性，以及函數(shù)
的圖象和對稱性解答問題。
解：已知是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的二次函數(shù)知其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，又
為偶函數(shù)，其圖象也關(guān)于原點(diǎn)對稱，又方程即
有一個(gè)根，所以不等式的解集是，故選B
評注：在解決函數(shù)問題時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答問題。
(3)．(原創(chuàng))當(dāng)
時(shí)，不等式
恒成立，則
的取值范圍是
分析：不等式、方程、函數(shù)可以相互轉(zhuǎn)化，可以通過構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的圖象來解答。
解：構(gòu)造函數(shù)：
．由于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于在區(qū)間
上函數(shù)
的圖象位于
軸下方，由于函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，故只需
即
，解得
．
評注：結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)題目的要求列出參數(shù)所滿足的條件是解決這類問題的另一個(gè)有效方法．特別是對參數(shù)以外的另一個(gè)變量是一次的情況，這個(gè)方法更有效．
(4)．(原創(chuàng)) 正方體
棱長為1，
為棱
上的動點(diǎn)．
⑴求證：
；
⑵當(dāng)點(diǎn)為棱上的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面
平面
；
⑶在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角
的大小為
？若存在，確定其位置，若不存在，說明理由．
分析：利用有關(guān)垂直的判定定理判定，在此基礎(chǔ)上解決(3)，可以設(shè)為
，求的
的方程解出。
證明：⑴連結(jié)
,則
,
∵
平面
,
平面,
∴是
在平面的上的射影，由三垂線定理知，．
⑵設(shè)
交于點(diǎn)O，連結(jié)
，
∵
，∴
，同理可證
，
∴
是二面角的平面角．
∵正方體棱長為1，∴
，
，∴
，
∴
，∴平面平面．
⑶(理科做)假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的大小為，
由⑵知
．設(shè)，則
，
，
∴在
中，由余弦定理得：
,
∴
，可化為
，
解得
，由于
，
∴在棱上不存在滿足條件的點(diǎn)．(說明：理科學(xué)生也可用空間向量解決此題．)
評注：在確定點(diǎn)的位置時(shí)，可以先設(shè)出，再解方程求出。
(5)．(原創(chuàng))在直線
：
上任取一點(diǎn)M，使過M且以雙曲線
的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C的長軸最短
(1)求橢圓C的方程
(2)若一直線
:
與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是橢圓的頂點(diǎn))，以
為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
分析：由已知條件判斷出所求的橢圓的方程形式,再根據(jù)圖形和橢圓的定義解決定量
的值,從而求得橢圓方程,并通過解方程組研究直線與橢圓的位置關(guān)系, 以為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn),說明有互相垂直的關(guān)系,從而由韋達(dá)定理解答問題即可.
解：(1)∵雙曲線的焦點(diǎn)為
,∴橢圓C的焦點(diǎn)為,設(shè)橢圓的方程為
,
關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為
,連接
交直線：于點(diǎn)M,則
,∴
∴橢圓的方程為
,橢圓的上頂點(diǎn)為
(2)由方程組
得
,即
,
△=
,即
,
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,則
,
,
∴
,
∵以為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，∴
∴
,
即
,∴
,化簡得
,∴
或
.當(dāng)時(shí),直線:
過定點(diǎn)與已知矛盾. 當(dāng)時(shí), 滿足,此時(shí)直線為:
過定點(diǎn)
,∴直線過定點(diǎn).
評注：解決圓錐曲線問題,要注重圓錐曲線的基礎(chǔ)知識的考查, 從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì),到直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論,做到熟悉常規(guī)解法,要注重?cái)?shù)形結(jié)合的思想和解方程的思想的滲透.要求思維要嚴(yán)密,運(yùn)算精湛.
(6) (2008年濰坊市,改編)定義在
的兩個(gè)函數(shù)和
,已知
,且在
處取極值.
(I)求
的值及和的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)求和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明道理.(其中
)
分析: 由在處取極值,可求得的值,,求導(dǎo)確定其單調(diào)區(qū)間,(3)可構(gòu)造函數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性研究方程的解,即曲線的交點(diǎn).
解(Ⅰ)由題意：
,∴
,∵在處取極值.
∴
∴
…………………………………………… 2分
∴
∴
∵定義域?yàn)?sub>,∴當(dāng)
時(shí),
, 為減函數(shù);
當(dāng)
時(shí), 為增函數(shù). ∴的減區(qū)間為
, 增區(qū)間為
.………4分
而
.
當(dāng)
時(shí), 
∴在
上為增函數(shù);
當(dāng)
時(shí),
, ∴在
上為減函數(shù).
∴的減區(qū)間為
, 增區(qū)間為
(Ⅱ)與
的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),
即求方程：
即：
,設(shè)
則
∴當(dāng)
時(shí)，
為減函數(shù).
當(dāng)
時(shí)，
為增函數(shù).
當(dāng)
時(shí)
最小,
最小為
而
的
圖象開口向下的拋物線.當(dāng)時(shí),
∴
與
的大致圖象如圖：
∴與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè),即和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).
評注:本題中的(3)研究兩條曲線的交點(diǎn),解方程(組)比較麻煩,需要轉(zhuǎn)為函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步判斷出交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
7．函數(shù)與方程在數(shù)列中的應(yīng)用
例11．(2008陜西卷，理22)已知數(shù)列
的首項(xiàng)
，
，
．
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)證明：對任意的
，
，；
(Ⅲ)證明：
．
分析：(1)由遞推關(guān)系求通項(xiàng)，可以進(jìn)行變形，構(gòu)造一個(gè)特殊數(shù)列求出；(2)不等式的左邊只含有
，右邊含有和，可以看作是關(guān)于的函數(shù)，可證此函數(shù)的最大值
。
解法一：(Ⅰ)
，
，
，
又
，
是以
為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列．
，
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，
，原不等式成立．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，對任意的，有
．
取
，
則
．
原不等式成立．
解法二：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)設(shè)
，
則
，
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
，
當(dāng)
時(shí)，
取得最大值
．
原不等式成立．
(Ⅲ)同解法一．
評注：本題為利用函數(shù)與方程的思想解答數(shù)列問題，在求右邊函數(shù)的最值時(shí)，可以用配方法，也可以用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性求其最值。
6、函數(shù)與方程在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
例9．(2008湖南卷，理21)已知函數(shù)
.
(I) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式
對任意的
都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).
求
的最大值.
分析：由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式對任意的都成立可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式
進(jìn)而分離出來，不等式恒成立轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值問題，可構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值。
解: (Ⅰ)函數(shù)的定義域是
，
設(shè)
則
令
則
當(dāng)
時(shí)， 
在(-1，0)上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，
在上為減函數(shù).
所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以
，
函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).
于是當(dāng)時(shí)，
當(dāng)x＞0時(shí)，
所以，當(dāng)時(shí)，
在(-1，0)上為增函數(shù).
當(dāng)x＞0時(shí)，
在上為減函數(shù).
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)不等式等價(jià)于不等式由
知，
設(shè)
則
由(Ⅰ)知，
即
所以
于是G(x)在
上為減函數(shù).
故函數(shù)G(x)在上的最小值為
所以a的最大值為
評注：第(1)問是為第二問鋪墊的，在解答問題(2)時(shí)，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而研究最值是解決函數(shù)最值問題的常用方法。理科的題目常常是超越方程或不等式，要利用導(dǎo)數(shù)解答問題。而文科的題基本上是含有參數(shù)的三次函數(shù)，如下一例題
例10．(2008北京卷，文17)已知函數(shù)
，且
是奇函數(shù)．(Ⅰ)求
，
的值；(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
分析：本題從函數(shù)的性質(zhì)入手，利用奇函數(shù)的定義，確定函數(shù)的解析式，，再由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。
解：(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，對任意的
，
，即
．
又
所以
．
所以
解得
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
．
所以
．
當(dāng)
時(shí)，由
得
．
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
 |
0 |
 |
0 |
|
|
|
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增．
當(dāng)
時(shí)，，所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增．
評注：為奇函數(shù)是對任意的，都成立來說的，也就是恒等式，對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，從而確定系數(shù)。在研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)往往要對參數(shù)在分界值處進(jìn)行分類討論。
5、函數(shù)與方程在解析幾何中的應(yīng)用
例6．(2008山東淄博)若
、
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若
是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求
的最大值和最小值；
(Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)
，
的直線
與橢圓交于兩不同的點(diǎn)
、
，且
為銳角(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率
的取值范圍.
分析：(Ⅰ)中可以設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出，得到函數(shù)求最值。(Ⅱ)中研究直線與橢圓的交點(diǎn)，需要解方程組，由韋達(dá)定理解答即可。
解：(Ⅰ)解法一：由橢圓方程知
所以 
，設(shè)
則
又 ∴ 
，故當(dāng)
，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，
有最小值
當(dāng)
，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值
．
解法二：易知，所以，設(shè)
則
(以下同解法一)
(Ⅱ)顯然當(dāng)直線的斜率不存在即時(shí)，不滿足題設(shè)條件
可設(shè)的方程為
，設(shè)
，
聯(lián)立 
得
即 
∴ 
，
由
即 
解得
①
又
為銳角
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 
②
綜①、②可知
∴ 的取值范圍是
．
評注：解析幾何中點(diǎn)的坐標(biāo)，線的方程都與函數(shù)、方程是相通的，可以利用函數(shù)與方程的思想解答問題。在解方程組時(shí)要注意保證方程組有兩不同的解，求得參數(shù)的取值范圍。
例7．(2008廣東卷，理18)設(shè)，橢圓方程為
，拋物線方程為
．如圖4所示，過點(diǎn)
作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為
，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)
．
(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
(2)設(shè)
分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得
為直角三角形？若存在，請指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo))．
分析：本題中的拋物線可以看作為二次函數(shù)，拋物線在點(diǎn)的切線的斜率就是該點(diǎn)處的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由此可以寫出此切線方程，從而得到橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出橢圓和拋物線的方程，(2)為探索結(jié)論問題，為直角三角形自然要考慮誰是直角，所以需要分類討論，并轉(zhuǎn)為方程確定其解的個(gè)數(shù)。
解
：(1)由得
，當(dāng)
得
，
G點(diǎn)的坐標(biāo)為
，
，
，
過點(diǎn)G的切線方程為
即
，
令
得
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為
，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為
，
即
，即橢圓和拋物線的方程分別為
和
；
(2)
過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以
為直角的
只有一個(gè)，同理 以
為直角的只有一個(gè)。若以
為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
和
，
。關(guān)于
的二次方程有一大于零的解，
有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得
為直角三角形。
評注：本題較好地把圓錐曲線問題和函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)結(jié)合起來解答問題，一般地，對于已經(jīng)曲線的某一點(diǎn)處的切線，就要轉(zhuǎn)為函數(shù)求導(dǎo)，從而求出其切線。另外，還要注意方程的解的個(gè)數(shù)的探討。
例8．(2008湖南，理20)若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”。已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P(x,0)存在無窮多條“相關(guān)弦”。給定x0>2.
(I)證明：點(diǎn)P(x0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；
(II) 試問：點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？
若存在，求其最大值(用x0表示)：若不存在，請說明理由.
分析：本題(1)研究中點(diǎn)弦問題，可以用點(diǎn)差法，求得中點(diǎn)的坐標(biāo)從而證明；(2)可用中點(diǎn)的坐標(biāo)表示出弦長，得到關(guān)于中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的函數(shù)，再求出函數(shù)的值域。
解: (I)設(shè)AB為點(diǎn)P(x0,0)的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是
(x1,y1)、(x2,y2)(x1
x2),則y21=4x1, y22=4x2,
兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因?yàn)?i>x1x2,所以y1+y20.
設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M(xm, ym),則
k=
.從而AB的垂直平分線l的方程為 
又點(diǎn)P(x0,0)在直線上，所以 
而
于是
故點(diǎn)P(x0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是
，代入
中，
整理得
(·)
則
是方程(·)的兩個(gè)實(shí)根，且
設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則
因?yàn)?<
<4xm=4(xm-2)
=4x0-8,于是設(shè)t=,則t
(0,4x0-8).
記l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,則2(x0-3) (0,
4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即=2(x0-3)時(shí),
l有最大值2(x0-1).
若2<x0<3,則2(x0-3)
0,g(t)在區(qū)間(0，4 x0-8)上是減函數(shù)，
所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.
綜上所述，當(dāng)x0>3時(shí)，點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值
為2(x0-1)；當(dāng)2< x03時(shí)，點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值.
評注：本題中需要解方程組求弦長，弦長用弦的中點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，可用配方法求得函數(shù)的值域。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中滲透著函數(shù)與方程的思想，在解決解析幾何問題時(shí)常常運(yùn)用函數(shù)與方程的思想來解答。
4、函數(shù)與方程在立體幾何中的應(yīng)用
例5．(2008北京卷，理，8)如圖，動點(diǎn)在正方體
的對角線
上．過點(diǎn)作垂直于平面
的直線，與正方體表面相交于
．設(shè)
，
，
則函數(shù)的圖象大致是( )
分析：本題是立體幾何與函數(shù)的交匯題，可以先觀察題目并進(jìn)行空間想象加以判斷，再由
的特殊性與平面垂直，可以把向平面
內(nèi)作正投影，保持其長度不變，從而把空間問題轉(zhuǎn)為平面問題，在平面內(nèi)研究函數(shù)關(guān)系即可順利完成。
解：設(shè)正方體的棱長為，由圖形的對稱性知
點(diǎn)始終是的中點(diǎn)，
而且隨著點(diǎn)從點(diǎn)向
的中點(diǎn)滑動，
值逐漸增大到最大，再由中
點(diǎn)向
點(diǎn)滑動，而逐漸變小，排除
，把向平面內(nèi)正投
影得
，則=，由于
，
∴
，所以當(dāng)
時(shí)，
為一次函數(shù)，故選
答案：
評注：本題為函數(shù)的變化趨勢問題，通過觀察進(jìn)行理性地分析，再從數(shù)值上加以運(yùn)算。
3、函數(shù)與方程、不等式的轉(zhuǎn)化
例3．(2008廣東卷，理14)已知
，若關(guān)于的方程
有實(shí)根，則的取值范圍是
．
分析：求參數(shù)的范圍，可以先將分離出來，表示為的函數(shù)，求出函數(shù)的值域，進(jìn)而得到參數(shù)的范圍
解：方程即
,利用絕對值的幾何意義,得
，可得實(shí)數(shù)的取值范圍為
評注：本題將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的值域得到的不等式，求得參數(shù)的范圍。
例4．(福建德化一中2008，理)若關(guān)于x的方程
的兩根
滿足
，則k的取值范圍是( )
A．
B．
C．
D．
分析：本題是研究二次方程的實(shí)根分布問題，可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)為函數(shù)值表示的不等式組解出。
解：設(shè)函數(shù)
，∵關(guān)于x的方程的兩根滿足，∴
即
∴
，故選擇。
答案：
評注：對于二次方程的實(shí)根分布問題，要轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象和各端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值以及二次項(xiàng)系數(shù)和對稱軸解答。
2、構(gòu)造函數(shù)解題
例2. (2008天津卷，理，16)設(shè)
，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對于任意的
，都有
滿足方程
，這時(shí)，的取值的集合為
。
分析:題目給出的方程中含有
等多個(gè)字母，而條件中是對任意的都有，這使我們聯(lián)想到函數(shù)的定義域、值域，所以必須把方程改寫為關(guān)于的函數(shù)，再進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)。
解：由已知，得
(其中
)，函數(shù)為反比例函數(shù)，在
()上為單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，
又因?yàn)閷τ谌我獾?sub>，都有，所以
，因?yàn)橛星抑挥幸粋�(gè)常數(shù)符合題意，所以
，解得
，所以的取值的集合為
。
答案：
評注:本題看似方程問題，實(shí)質(zhì)是函數(shù)問題，通過分析、轉(zhuǎn)化為函數(shù)，并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為不等式組解出。本題中自覺地、巧妙地運(yùn)用函數(shù)的思想來指導(dǎo)解答問題。
所謂函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)、集合對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決，函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是要善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)去觀察分析處理問題。
所謂方程的思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程(組)，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決，方程思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是利用方程或方程觀點(diǎn)觀察處理問題。函數(shù)思想與方程思想是密不可分的，可以相互轉(zhuǎn)化的。
函數(shù)和方程的思想是最重要和最常用的數(shù)學(xué)思想，它貫穿于整個(gè)高中教學(xué)中，中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析幾何都可以歸結(jié)為函數(shù)，尤其是導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重函數(shù)與方程的思想是相當(dāng)重要的．在高考中，函數(shù)與方程的思想也是作為思想方法的重點(diǎn)來考查的，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識的網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查。
1、利用函數(shù)與方程的性質(zhì)解題
例1．(2008安徽卷，理,11)若函數(shù)
分別是
上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足
，則有( )
A．
B．
C．
D．
分析：要比較函數(shù)值的大小，就要由已知條件求得函數(shù)解析式，本題中的都未知，只有一個(gè)等式，就需要我們再挖掘一個(gè)等式，由函數(shù)的奇偶性容易想到用
替換，從而得到兩個(gè)方程組成方程組解出。
解：因?yàn)?sub>，用替換得：
因?yàn)楹瘮?shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，所以
，又
解得：
，而單調(diào)遞增且
，∴
大于等于0，而
，故選
。
答案：
評注：本題中利用函數(shù)的性質(zhì)再得一方程，通過解方程組求得函數(shù)的解析式，再回歸到函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，是函數(shù)與方程的較好得結(jié)合。
5、讀圖2-11，完成下列要求：
圖2-11
⑴根據(jù)鋒面兩側(cè)冷暖氣團(tuán)的移動方向，該鋒面屬于 鋒。當(dāng)該鋒面地處我國南嶺一帶時(shí)，在其控制下將會出現(xiàn) 天氣。
⑵夏季影響我國長江流域以南的暖氣團(tuán)有 (選擇填空)
A、來自印度洋的熱帶海洋氣團(tuán)
B、來自太平洋的熱帶海洋氣團(tuán)
C、來自印度洋的赤道氣團(tuán)
D、來自太平洋的赤道氣團(tuán)
⑶6月初，上述暖氣團(tuán)移至長江中下游地區(qū)與北方南下的冷氣團(tuán)交匯，該地區(qū)將在 鋒控制下，會出現(xiàn) 天氣。
⑷而7、8月間，長江中下游地區(qū)將受 高壓控制，會出現(xiàn)
天氣現(xiàn)象。
6.讀圖2-12,“亞洲1月、7月季風(fēng)圖”,回答下列問題：
圖2-12
(1)A表示 月,B表示 月。
(2)A圖中的風(fēng)是由 高壓吹向 低壓和赤道低壓。
(3)在圖中適當(dāng)?shù)奈恢米⒊鱿铝忻Q的代表字母,
C.東南季風(fēng) D.西北季風(fēng) E.西南季風(fēng) F.東北季風(fēng)
⑷從B圖中可以看出西南季風(fēng)是南半球的 風(fēng)向北越過赤道,在 力影響下向右偏轉(zhuǎn)形成的。
(5)季風(fēng)的形成的原因是① ， ② 。
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