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(二)考點預(yù)測題

1．(2007天津理工13)設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項的和為，則　　　．

[解析]本題設(shè)出首項，表示出通項和前和(有限項)，然后代入求極限.而在求極限的時候，利用到已經(jīng)掌握的極限知識和，其中為常數(shù).

[答案]設(shè)首項為，則，

，

2.(2008山東卷文20)將數(shù)列中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：

．．．．．．

記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，．為數(shù)列的前項和，且滿足．

(Ⅰ)證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

(Ⅱ)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當時，求上表中第行所有項的和．

[解析]第(Ⅰ)問從無窮數(shù)列中抽出它的一個無窮的子數(shù)列，由與的遞推關(guān)系式消去，從而證明是無窮的等差數(shù)列. 第(Ⅱ)問就是求從第三行起的每一行所有的這些無窮多項的和.

[答案](Ⅰ)證明：由已知，當時，，

又，所以，

即，所以，

又．所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列．

由上可知，即．

所以當時，．

因此

(Ⅱ)解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為，且．

因為，所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列的前78項，

故在表中第13行第三列，因此．

又，所以．

記表中第行所有項的和為，

則

試題詳情

(一)考點預(yù)測

根據(jù)近幾年各地高考試題和模擬試題來看，有限與無限的思想逐年增加考查廣度，我們認為2009年的高考一定會有更多的體現(xiàn).在題型上來看，熱點問題仍然是以數(shù)列為載體考查極限的知識和用數(shù)學(xué)歸納法證題.

試題詳情

2．(安徽省皖南八校2008屆高三第三次聯(lián)考，數(shù)學(xué)，18)數(shù)列的首項=1，前項和為滿足(常數(shù)，)．

　　 (1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

　　 (2)設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，(2，3，4，…)

求數(shù)列的通項公式；

　　 (3)設(shè)，若存在，且；使(…)，試求的最小值．

[解析]第(1)問通過對遞推關(guān)系式的變形得到相鄰兩項的比，正是利用這兩個有限項的比是非零常數(shù)來證明該數(shù)列是等比數(shù)列的.第(2)問也是通過對遞推關(guān)系式(無限的問題)的變形來求通項公式的(無限的問題).第(3)問通過抓住通項來求有限項的極限，再根據(jù)這個極限求出的最小值.

[答案] 解：(1) ①

　　當時， ②

①-②得，即

　　由①, 　，∴，

　　又符合上式，∴是以1為首項，為公比的等比數(shù)列．

(2)由(1)知，∴()，

∴.又，即，，

∴數(shù)列是為1首項，為公比的等比數(shù)列．

∴，∴．

(3)由(2)知，則.

∴…=

=，

∴，∴. 　 ∵，∴，.

又∵，∴的最小值為7.

試題詳情

1.(福建省泉州一中2008屆高三畢業(yè)班第二次模擬檢測，數(shù)學(xué)，22)數(shù)列中，，

　(為常數(shù)，) ，且

(1)求的值；

(2)① 證明：；

② 猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值(不必證明)；

(3)比較與的大小，并加以證明.

[解析]第(1)問由通項公式(揭示無限問題)求出有限項后可得的值；第(2)問通過對有限項的處理證明出結(jié)論，從而可猜出的極限；第(3)問對得到的遞推關(guān)系式進行變形，再用作差法求解，需要用到數(shù)學(xué)歸納法證得.然后通過前幾項(有限項)的比較與第(2)問已證的單調(diào)性得到結(jié)果.

[答案](Ⅰ)依題意，

由，得，解得，或(舍去).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)① 證明：因為，

當且僅當時，.因為，所以，即　 ().

　　　② 數(shù)列有極限,且 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ)由，可得，從而.

因為，所以

所以

因為，由(Ⅱ)① 得　().　 (*)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意，有成立.

當時，由，顯然結(jié)論成立.

假設(shè)結(jié)論對時成立，即

因為，且函數(shù)在時單調(diào)遞增，

所以.即當時，結(jié)論也成立. 于是，當時，有成立. (**)

根據(jù)(*)及(**)得 .　　　

由及，經(jīng)計算可得

所以，當時，；當時，；

當時，由，得

所以.　　　

試題詳情

3.(2008遼寧卷21)在數(shù)列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列().

(Ⅰ)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測，的通項公式，并證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)證明：．

[解析]第(Ⅰ)問由題設(shè)可得兩個數(shù)列的遞推關(guān)系式，進而得到兩個數(shù)列的前幾項(有限項) ，可以猜出兩者的通項公式(無限的問題)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明這個無限的問題.第(Ⅱ)問可以通過研究通項公式(無限的問題)直接解決無限的問題.

[答案](Ⅰ)由條件得，由此可得

．猜測．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當n=k時，結(jié)論成立，即，

那么當n=k+1時，,

所以當n=k+1時，結(jié)論也成立．

由①②，可知對一切正整數(shù)都成立．

(Ⅱ)．n≥2時，由(Ⅰ)知．

故

綜上，原不等式成立．

試題詳情

2. (2005年福建卷，理，22) 已知數(shù)列滿足,我們知道當a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當時，得到無窮數(shù)列：當時,得到有窮數(shù)列：.

(Ⅰ)求當為何值時；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足, ，求證：取數(shù)列中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列；

(Ⅲ)若，求的取值范圍.

[解析]　這是一道蘊含有限與無限的思想的典型試題. 對于題設(shè)的遞推關(guān)系，隨著所給出的初始條件不同，得到的數(shù)列既可能是無限數(shù)列也可能是有限的數(shù)列，第(Ⅱ)問則可以通過有有限次的試驗，得出對無限個都可以得到一個有窮數(shù)列{a_n}的猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.或者通過對有限問題的推理直接得到無限問題的解答.第(Ⅲ)問是把對無限個都成立的結(jié)果，通過有限次分析獲得解決.