5．甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為
，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為
，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為
。
Ⅰ.分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；
Ⅱ.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個進行檢驗,求至少有一個是一等品的概率。
4．已知銳角三角形ABC中，
。
Ⅰ.求證
；
Ⅱ.設
，求AB邊上的高。
3.設雙曲線的焦點
在軸上，兩條漸近線為
，則該雙曲線的離心率
( )
A 5
B 
C 
D 
2．已知方程
的四個根組成一個首項為的等差數列,則
(
)
A 1
B 
C 
D 
1．
展開式中
的系數為____________.
Ⅰ．運用函數與方程、表達式相互轉化的觀點解決函數、方程、表達式問題。
例1 已知
，(a、b、c∈R)，則有( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
解析 法一：依題設有 a·5－b·
+c＝0
∴是實系數一元二次方程
的一個實根；
∴△＝
≥0 ∴ 故選(B)
法二：去分母，移項，兩邊平方得：
≥10ac+2·5a·c＝20ac
∴ 故選(B)
點評解法一通過簡單轉化，敏銳地抓住了數與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決；解法二轉化為b2是a、c的函數，運用重要不等式，思路清晰，水到渠成。
練習1 已知關于的方程 
－(2 m－8)x +
－16 = 0的兩個實根 
、
滿足 ＜
＜，則實數m的取值范圍_______________。
答案：
；
2 已知函數 
的圖象如下，則( )
(A)
(B)
(C) 
(D)
答案：A.
3 求使不等式
≤
·
對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。
Ⅱ：構造函數或方程解決有關問題：
例2 已知
，t∈[
，8]，對于f(t)值域內的所有實數m，不等式
恒成立，求x的取值范圍。
解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[
，3]
原題轉化為：
>0恒成立，為m的一次函數(這里思維的轉化很重要)
當x＝2時，不等式不成立。
∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]
問題轉化為g(m)在m∈[，3]上恒對于0，則：
；
解得：x>2或x<－1
評析 首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數，因此依據一次函數的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準“主元”往往是解題的關鍵。
例3 為了更好的了解鯨的生活習性，某動物保護組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置，從海洋放歸點A處，如圖(1)所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對它進行了長達40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點測得數據如下表(設鯨沿海面游動)，然后又在觀測站B處對鯨進行生活習性的詳細觀測，已知AB＝15km，觀測站B的觀測半徑為5km。
|
觀測時刻 t(分鐘) |
跟蹤觀測點到放歸 點的距離a(km) |
鯨位于跟蹤觀測點正北 方向的距離b(km) |
|
10 |
1 |
0.999 |
|
20 |
2 |
1.413 |
|
30 |
3 |
1.732 |
|
40 |
4 |
2.001 |
(1)據表中信息：①計算出鯨沿海岸線方向運動的速度；②試寫出a、b近似地滿足的關系式并
畫出鯨的運動路線草圖；
(2)若鯨繼續(xù)以(1)－②運動的路線運動，試預測，該鯨經過多長時間(從放歸時開設計時)可進入前方觀測站B的觀測范圍？并求出可持續(xù)觀測的時間及最佳觀測時刻。(注：
≈6.40；精確到1分鐘)
解析(1)由表中的信息可知：
①鯨沿海岸線方向運動的速度為：
(km/分鐘)
②a、b近似地滿足的關系式為：
運動路線如圖
(2)以A為原點，海岸線AB為x軸建立直角坐標系，設鯨所在
位置點P(x，y)，由①、②得：
，又B(15，0)，
依題意：觀測站B的觀測范圍是：
≤5 (y≥0) 又
∴
≤25 解得：11.30≤x≤17.70
由①得：∴該鯨經過t＝
＝113分鐘可進入前方觀測站B的觀測范圍
持續(xù)時間：
＝64分鐘
∴該鯨與B站的距離d＝＝
當d最小時為最佳觀測時刻，這時x＝
＝14.5，t＝145分鐘。
練習4．已知關于
的方程
－2
= 0有實數解，求實數的取值范圍。
(答案：0≤≤4－
)
Ⅲ：運用函數與方程的思想解決數列問題
例4設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知
，
>0，
<0，
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出
、
、
…，中哪一個最大，并說明理由。
解析(1)由得：
，
∵＝
>0 ＝
<0
∴
<d<－3
(2)
∵d<0，
是關于n 的二次函數，對稱軸方程為：x＝
∵<d<－3 ∴6<<
∴當n＝6時，最大。
3．(1) 函數和方程是密切相關的，對于函數y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函數式y(tǒng)＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函數問題(例如求反函數，求函數的值域等)可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數y＝f(x)的零點。
(2) 函數與不等式也可以相互轉化，對于函數y＝f(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助于函數圖像與性質解決有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式。
(3) 數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處理數列問題十分重要。
(4) 函數f(x)＝
(n∈N*)與二項式定理是密切相關的，利用這個函數用賦值法和比較系數法可以解決很多二項式定理的問題。
(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數的有關理論。
(6) 立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函數表達式的方法加以解決。
2．方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.
函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通過方程進行研究。
就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關方程的問題可以用函數的方法解決，反之，許多函數問題也可以用方程的方法來解決。函數與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點。
1．函數的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題。
“三化”：(1)問題具體化(包括抽象函數用具有相同性質的具體函數作為代表來研究，字母用常數來代表)。即把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關系具體明確，有時可畫表格或圖形，以便于把一般原理、一般規(guī)律應用到具體的解題過程中去。(2)問題簡單化。即把綜合問題分解為與各相關知識相聯(lián)系的簡單問題，把復雜的形式轉化為簡單的形式。(3)問題和諧化。即強調變換問題的條件或結論，使其表現形式符合數或形內部固有的和諧統(tǒng)一的特點，或者突出所涉及的各種數學對象之間的知識聯(lián)系。
“三轉”：(1)語言轉換能力。每個數學綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成。解綜合題往往需要較強的語言轉換能力。還需要有把普通語言轉換成數學語言的能力。(2)概念轉換能力：綜合題的轉譯常常需要較強的數學概念的轉換能力。(3)數形轉換能力。解題中的數形結合，就是對題目的條件和結論既分析其代數含義又分析其幾何意義，力圖在代數與幾何的結合上找出解題思路。運用數形轉換策略要注意特殊性，否則解題會出現漏洞。
“三思”：(1)思路：由于綜合題具有知識容量大，解題方法多，因此，審題時應考慮多種解題思路。(2)思想：高考綜合題的設置往往會突顯考查數學思想方法，解題時應注意數學思想方法的運用。(3)思辯：即在解綜合題時注意思路的選擇和運算方法的選擇。
“三聯(lián)”：(1)聯(lián)系相關知識，(2)連接相似問題，(2)聯(lián)想類似方法。
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