1．通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；
3．確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。
①
區(qū)別∈與
、與
、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}；
②
AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。
③若集合A中有n
個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為
，所有真子集的個數(shù)是－1, 所有非空真子集的個數(shù)是
。
④區(qū)分集合中元素的形式：
如
；
；
；
；
；
；
。
⑤空集是指不含任何元素的集合。
、
和
的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。條件為
，在討論的時候不要遺忘了
的情況。
⑥符號“
”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線(面)的關(guān)系
；符號“
”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。
邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學(xué)科，是人們認(rèn)識和研究問題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學(xué)生的推理技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力。
2．強(qiáng)化對集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容(即讀懂問題中的集合)以及各個集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡(或求解)，一般應(yīng)考慮先化簡(或求解)；
集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究和解決數(shù)學(xué)問題。
1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號，如
、
、、、=、
A、∪，∩等等；
+(200÷30)＝146
所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54(個)
點(diǎn)評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可考慮用扣除法。
題型7：集合綜合題
例11．(1999上海，17)設(shè)集合A={x||x－a|<2}，B={x|
<1}，若A
B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。
由<1，得
<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。
因?yàn)?i>AB，所以
，于是0≤a≤1。
點(diǎn)評：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。
例12．已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項和記作Sn,設(shè)集合A={(an,
)|n∈N*},B={(x,y)|
x2－y2=1,x,y∈R}。
試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明：
(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；
(2)A∩B至多有一個元素；
(3)當(dāng)a1≠0時，一定有A∩B≠
。
解：(1)正確；在等差數(shù)列{an}中，Sn=
,則
(a1+an),這表明點(diǎn)(an,)的坐標(biāo)適合方程y
(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=
x+a1上。
(2)正確；設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組
的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=－4(*)，
當(dāng)a1=0時，方程(*)無解，此時A∩B=；
當(dāng)a1≠0時，方程(*)只有一個解x=
,此時，方程組也只有一解
,故上述方程組至多有一解。
∴A∩B至多有一個元素。
(3)不正確；取a1=1，d=1，對一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，這時集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0
如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結(jié)論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0),而x0=
＜0,y0=
＜0，這樣的(x0,y0)
A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=，所以a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的。
點(diǎn)評：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。
變式題：解答下述問題：
(Ⅰ)設(shè)集合
，
,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解
的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。
解：
的取值范圍是
UM={m|m<-2}.
(解法三)設(shè)
這是開口向上的拋物線，
，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價于
注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒有這么簡單。
(Ⅱ)已知兩個正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,a4},
、B.
分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)”這個條件的運(yùn)用，
(Ⅲ)
分析：正確理解
要使
,
由
當(dāng)k=0時，方程有解
,不合題意；
當(dāng)
①
又由
由
②，
由①、②得
∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1
點(diǎn)評：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。
題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題
例13．七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？
解：設(shè)集合A={甲站在最左端的位置}，
B={甲站在最右端的位置}，
C={乙站在正中間的位置}，
D={丙站在正中間的位置}，
則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示，
∴不同的排法有
種.
點(diǎn)評：這是一道排列應(yīng)用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯，若考慮運(yùn)用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。
例14．A是由定義在
上且滿足如下條件的函數(shù)
組成的集合：①對任意
，都有
； ②存在常數(shù)
，使得對任意的
，都有
(1)設(shè)
，證明：
(2)設(shè),如果存在
,使得
,那么這樣的
是唯一的;
(3)設(shè),任取
,令
證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式
。
解：
對任意,
,
,
,所以
對任意的，
，
，
所以0<
,
令=
，
，
所以
反證法：設(shè)存在兩個
使得,
。
則由
，
得
，所以
，矛盾，故結(jié)論成立。
，
所以
+…
。
點(diǎn)評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。
題型1：集合的概念
例1．設(shè)集合
，若
，則下列關(guān)系正確的是( )
A．
B．
C．
D．
解：由于
中
只能取到所有的奇數(shù)，而
中18為偶數(shù)。則
。選項為D；
點(diǎn)評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應(yīng)該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。
例2．設(shè)集合P={m|－1＜m≤0
，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是( )
A．PQ B．Q
P C．P=Q D．P∩Q=Q
解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立＝，對m分類：
①m=0時，－4＜0恒成立；
②m＜0時，需Δ=(4m)2－4×m×(－4)＜0，解得m＜0。
綜合①②知m≤0，
∴Q={m∈R|m≤0}。
答案為A。
點(diǎn)評：該題考察了集合間的關(guān)系，同時考察了分類討論的思想。集合
中含有參數(shù)m，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，不能忽略m=0的情況。
題型2：集合的性質(zhì)
例3．(2000廣東，1)已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個數(shù)是( )
A．15 B．16 C．3 D．4
解：根據(jù)子集的計算應(yīng)有24－1=15(個)。選項為A；
點(diǎn)評：該題考察集合子集個數(shù)公式。注意求真子集時千萬不要忘記空集
是任何非空集合的真子集。同時，A不是A的真子集。
變式題：同時滿足條件：①
②若
，這樣的集合M有多少個，舉出這些集合來。
答案：這樣的集合M有8個。
例4．已知全集
，A={1,
}如果
，則這樣的實(shí)數(shù)
是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。
解：∵；
∴
，即
＝0，解得
當(dāng)
時，
，為A中元素；
當(dāng)
時，
當(dāng)
時，
∴這樣的實(shí)數(shù)x存在，是
或。
另法：∵
∴，
∴＝0且
∴或。
點(diǎn)評：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當(dāng)時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號是兩層含義：。
變式題：已知集合
，
,
,求
的值。
解：由
可知，
(1)
，或(2)
解(1)得
，
解(2)得
，
又因?yàn)楫?dāng)時，
與題意不符，
所以，
。
題型3：集合的運(yùn)算
例5．(06全國Ⅱ理，2)已知集合M＝{x|x＜3，N＝{x|log2x＞1}，則M∩N＝( )
A．
B．{x|0＜x＜3
C．{x|1＜x＜3
D．{x|2＜x＜3
解：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且2>1，顯然由
易得
。從而
。故選項為D。
點(diǎn)評：該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。
例6．(06安徽理，1)設(shè)集合
，
，則
等于( )
A．
B．
C．
D．
解：
，
，所以
，故選B。
點(diǎn)評：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。
題型4：圖解法解集合問題
例7．(2003上海春，5)已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實(shí)數(shù)a
的取值范圍是____ _。
解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：如圖所示，因此有a≤－2。
點(diǎn)評：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問題。
例8．(1996全國理，1)已知全集I＝N*，集合A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，則( )
A．I＝A∪B B．I＝(
A)∪B
C．I＝A∪(B ) D．I＝(A)∪(B)
解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有C選項正確.
方法二：因A＝{2，4，6，8…}，B＝{4，8，12，16，…}，所以B＝{1，2，3，5，6，7，9…}，所以I＝A∪B，故答案為C.
方法三：因BA，所以()A()B，()A∩(B)＝A，故I＝A∪(A)＝A∪(B)。
方法四：根據(jù)題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪(B)是成立的。
點(diǎn)評：本題考查對集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。
題型5：集合的應(yīng)用
例9．向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果
贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？
解：贊成A的人數(shù)為50×
=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。
設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為
+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。
點(diǎn)評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。
例10．求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？
解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件
的數(shù)共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)
5．集合的簡單性質(zhì)：
(1)
(2)
(3)
(4)
；
(5)(A∩B)=(A)∪(B)，(A∪B)=(A)∩(B)。
4．交集與并集：
(1)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集
。
(2)一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?i>B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。
。
注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。
3．全集與補(bǔ)集：
(1)包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；
(2)若S是一個集合，AS，則，=
稱S中子集A的補(bǔ)集；
(3)簡單性質(zhì)：1)()=A；2)S=
，
=S。
2．集合的包含關(guān)系：
(1)集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集(或B包含A)，記作AB(或
)；
集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。若AB且B
A，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A B；
(2)簡單性質(zhì)：1)AA；2)A；3)若AB，BC，則AC；4)若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集(其中2n－1個真子集)；
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