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2．通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；

1．由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題�；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練；

4．當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)　 涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍；

3．直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法；

2．關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識(shí)會(huì)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，收到意想不到的解題效果；

1．加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí)

由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問題，因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。而不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查；

題型1：直線與橢圓的位置關(guān)系

例1．已知橢圓：，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)。

解析：a=3,b=1,c=2，則F(-2，0)。

由題意知：與聯(lián)立消去y得：。

設(shè)A(、B(，則是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，，，又因?yàn)锳、B、F都是直線上的點(diǎn)，

所以|AB|=

點(diǎn)評(píng)：也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計(jì)算。

例2．中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F₁(0，)的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。

解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由F₁(0，)得

把直線方程代入橢圓方程整理得：。

設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得：

，又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

，與方程聯(lián)立可解出

故所求橢圓的方程為：。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由F₁(0，)知，c=，，最后解關(guān)于a、b的方程組即可。

例3．(06遼寧卷)直線與曲線　 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　 )

(A)1　　　　　　 (B)2　　　　　　　 (C)3　　　　　　 (D)4

解析：將代入得：。

，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點(diǎn)有4個(gè)，故選擇答案D。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對(duì)值的變換技巧，同時(shí)對(duì)二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡(jiǎn)單的考查。

例4．(2000上海，17)已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F₁(，0)和F₂(2，0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。

解析：設(shè)橢圓C的方程為，

由題意a=3，c=2，于是b=1.

∴橢圓C的方程為+y²＝1．

由得10x²+36x+27＝0，

因?yàn)樵摱�次方程的判別式Δ＞0，所以直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則x₁+x₂＝，

故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為()．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

題型2：直線與雙曲線的位置關(guān)系

例5．(1)過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。

(2)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線的兩支上？

解析：(1)解：若直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件；

若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為則，

，　 ∴，

，

當(dāng)時(shí)，方程無解，不滿足條件；

當(dāng)時(shí)，方程有一解，滿足條件；

當(dāng)時(shí)，令，

化簡(jiǎn)得：無解，所以不滿足條件；

所以滿足條件的直線有兩條和。

(2)把代入整理得：……(1)

當(dāng)時(shí)，。

由>0得且時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。

若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或。

故當(dāng)或時(shí)，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。

點(diǎn)評(píng)：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。

例5．(1)求直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)；

(2)求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。

解析：由得得(*)

設(shè)方程(*)的解為，則有　 得，

(2)方法一：若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為，

由得(*)

設(shè)方程(*)的解為，則，

∴，

且，

∴，

得或。

方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，弦中點(diǎn)為，則

得：，

∴，　　 即，　　 即(圖象的一部分)

點(diǎn)評(píng)：(1)弦長(zhǎng)公式；(2)有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法。

例7．過雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。

解析：設(shè)雙曲線的方程為，，漸近線，則過的直線方程為，則，

代入得，

∴即得，

∴，即得到。

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。

題型3：直線與拋物線的位置關(guān)系

例8．已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長(zhǎng)為3，求p的值。

解析：設(shè)與拋物線交于

　　　 由距離公式|AB|==

　　　 由

從而由于p>0，解得

點(diǎn)評(píng)：方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交；有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切；無實(shí)數(shù)解則相離。

例9．2003上海春，4)直線y=x－1被拋物線y²=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_____.

答案：(3，2)

解法一：設(shè)直線y=x－1與拋物線y²=4x交于A(x₁，y₁),B(x₂，y₂),其中點(diǎn)為P(x₀，y₀)。

由題意得，(x－1)²=4x，x²－6x+1=0。

∴x₀==3.y₀=x₀－1=2.∴P(3，2)。

解法二：y₂²=4x₂，y₁²=4x₁，y₂²－y₁²=4x₂－4x₁，

=4.∴y₁+y₂=4，即y₀=2，x₀=y₀+1=3。

故中點(diǎn)為P(3，2)。

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。

例10．(1997上海)拋物線方程為y²=p(x+1)(p＞0)，直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的右邊.

(1)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為Q、R，OQ⊥OR，求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式；

(3)(文)在(2)的條件下，若拋物線焦點(diǎn)F到直線x+y=m的距離為，求此直線的方程；

(理)在(2)的條件下，若m變化，使得原點(diǎn)O到直線QR的距離不大于，求p的值的范圍.

解：(1)拋物線y²=p(x+1)的準(zhǔn)線方程是x=－1－，直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)為(m，0)，由題設(shè)交點(diǎn)在準(zhǔn)線右邊，得m＞－1－，即4m+p+4＞0.

由

得x²－(2m+p)x+(m²－p)=0.

而判別式Δ=(2m+p)²－4(m²－p)=p(4m+p+4).

又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0.

因此，直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，由(1)知，x₁、x₂是方程x²－(2m+p)x+m²－p=0的兩根，

∴x₁+x₂=2m+p，x₁·x₂=m²－p.

由OQ⊥OR，得k_OQ·k_OR=－1，

即有x₁x₂+y₁y₂=0.

又Q、R為直線x+y=m上的點(diǎn)，

因而y₁=－x₁+m，y₂=－x₂+m.

于是x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂－m(x₁+x₂)+m²=2(m²－p)－m(2m+p)+m²=0，

∴p=f(m)=，

由得m＞－2，m≠0；

(3)(文)由于拋物線y²=p(x+1)的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(－1+，0)，于是有

，即|p－4m－4|=4.

又p=　 ∴||=4.

解得m₁=0，m₂=－，m₃=－4，m₄=－.

但m≠0且m＞－2，因而舍去m₁、m₂、m₃，故所求直線方程為3x+3y+4=0.

(理)解法一：由于原點(diǎn)O到直線x+y=m的距離不大于，于是

，∴|m|≤1.

由(2)，知m＞－2且m≠0，

故m∈［－1，0)∪(0，1］.

由(2)，知f(m)==(m+2)+－4，

當(dāng)m∈［－1，0)時(shí)，任取m₁、m₂，0＞m₁＞m₂≥－1，則

f(m₁)－f(m₂)=(m₁－m₂)+()

=(m₁－m₂)［1－］.

由0＞m₁＞m₂≥－1，知0＜(m₁+2)(m₂+2)＜4，1－＜0.

又由m₁－m₂＞0知f(m₁)＜f(m₂)因而f(m)為減函數(shù).

可見，當(dāng)m∈［－1，0)時(shí)，p∈(0，1］.

同樣可證，當(dāng)m∈(0，1］時(shí)，f(m)為增函數(shù)，從而p∈(0，］.

解法二：由解法一知，m∈［－1，0)∪(0，1］.由(2)知

p=f(m)=.

設(shè)t=，g(t)=t+2t²，則t∈(－∞，－1］∪［1，+∞)，又

g(t)=2t²+t=2(t+)²－.

∴當(dāng)t∈(－∞，－1］時(shí)，g(t)為減函數(shù)，g(t)∈［1，+∞).

當(dāng)t∈［1，+∞)時(shí)，g(t)為增函數(shù)，g(t)∈［3，+∞).

因此，當(dāng)m∈［－1，0］時(shí)，t∈(－∞，－1］，p=∈(0，1］；

當(dāng)m∈(0，1］時(shí)，t∈［1，+∞)，p∈(0，］.

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)與方程，拋物線與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，函數(shù)與不等式的知識(shí)，以及解決綜合問題的能力。

例11．(06山東卷)已知拋物線y²=4x，過點(diǎn)P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點(diǎn)，則y₁²+y₂²的最小值是　　　　　 。

解析：顯然³0，又＝4()³8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以所求的值為32。

點(diǎn)評(píng)：該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問題，結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。

3．直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式

設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為P₁ (x₁,y₁)，P₂ (x₂,y₂)，

且由，消去y→ax²+bx+c=0(a≠0)，Δ=b² －4ac。

則弦長(zhǎng)公式為：

d====。

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：(點(diǎn)是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，是到相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線的距離，是離心率)。

2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：

注意：直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．

1．點(diǎn)M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系