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題型1：正比例、反比例和一次函數(shù)型

例1．某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進行了連續(xù)5年的觀測，并將每年年底的觀測結果記錄如下表。根據此表所給的信息進行預測：(1)如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃；(2)如果從2000年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃？

觀測時間	1996年底	1997年底	1998年底	1999年底	2000年底
該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)(萬公頃)	0.2000	0.4000	0.6001	0.7999	1.0001

解析：(1)由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象。

將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b，

求得k=0.2，b=0，

所以y=0.2x(x∈N)。

因為原有沙漠面積為95萬公頃，則到2010年底沙漠面積大約為

95+0.5×15=98(萬公頃)。

(2)設從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬公頃，由題意得

95+0.2x－0.6(x－5)=90，

解得x=20(年)。

故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃。

點評：初中我們學習過的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質，我們要牢固掌握。特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應用好。

例2．(2006安徽理21)(已知函數(shù)在R上有定義，對任何實數(shù)和任何實數(shù)，都有

(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)證明其中和均為常數(shù)；

證明(Ⅰ)令，則，∵，∴。

(Ⅱ)①令，∵，∴，則。

假設時，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設時，，則，而，∴，即成立�！�成立。

點評：該題應用了正比例函數(shù)的數(shù)字特征，從而使問題得到簡化。而不是一味的向函數(shù)求值方面靠攏。

題型2：二次函數(shù)型

例3．一輛中型客車的營運總利潤y(單位：萬元)與營運年數(shù)x(x∈N)的變化關系如表所示，則客車的運輸年數(shù)為()時該客車的年平均利潤最大。

(A)4　　 (B)5　　 (C)6　　 (D)7

x年	4	6	8	…
(萬元)	7	11	7	…

解析：表中已給出了二次函數(shù)模型

，

由表中數(shù)據知，二次函數(shù)的圖象上存在三點(4，7)，(6，11)，(8，7)，則

。

解得a=－1，b=12，c=-25，

即。

而取“=”的條件為，

即x=5，故選(B)。

點評：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學函數(shù)中最重要的一個模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結論和性質，解決好實際問題。

例4．行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離。為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路上進行測試，測試所得數(shù)據如下表。在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.13m，問汽車在剎車時的速度是多少？

剎車時車速v/km/h	15	30	40	50	60	80
剎車距離s/m	1.23	7.30	12.2	18.40	25.80	44.40

解析：所求問題就變?yōu)楦鶕媳頂?shù)據，建立描述v與s之間關系的數(shù)學模型的問題。此模型不能由表格中的數(shù)據直接看出，因此，以剎車時車速v為橫軸，以剎車距離s為縱軸建立直角坐標系。根據表中的數(shù)據作散點圖，可看出應選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)。假設變量v與s之間有如下關系式：，因為車速為0時，剎車距離也為0，所以二次曲線的圖象應通過原點(0，0)。再在散點圖中任意選取兩點A(30，7.30)，B(80，44.40)代入，解出a、b、c于是

。(代入其他數(shù)據有偏差是許可的)

將s=15.13代入得

，

解得v≈45.07。

所以，汽車在剎車時的速度是45.07km/h。

例5．(2003北京春，理、文21)某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.

(1)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？

(2)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為： =12，所以這時租出了88輛車.

(2)設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f(x)=(100－)(x－150)－×50，整理得：f(x)=－+162x－21000=－(x－4050)²+307050.所以，當x=4050時，f(x)最大，其最大值為f(4050)=307050.即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.

點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題并加以解決。

題型3：分段函數(shù)型

例6．某集團公司在2000年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠，如下表：

一期2000年投入 1億元	興建垃圾堆肥廠	年處理有機肥十多萬噸	年綜合收益 2千萬元
二期2002年投入 4億元	興建垃圾焚燒發(fā)電一廠	年發(fā)電量1.3億kw/h	年綜合收益 4千萬元
三期2004年投入 2億元	興建垃圾焚燒發(fā)電二廠	年發(fā)電量1.3億kw/h	年綜合收益 4千萬元

如果每期的投次從第二年開始見效，且不考慮存貸款利息，設2000年以后的x年的總收益為f(x)(單位：千萬元)，試求f(x)的表達式，并預測到哪一年能收回全部投資款。

解析：由表中的數(shù)據知，本題需用分段函數(shù)進行處理。由表中的數(shù)據易得，

f(x)=。

顯然，當n≤4時，不能收回投資款。

當n≥5時，由f(n)=10n-24>70，

得n>9.4，取n=10。

所以到2010年可以收回全部投資款。

點評：分段函數(shù)是根據實際問題分類討論函數(shù)的解析式，從而尋求在不同情況下實際問題的處理結果。

例7．(2000全國，21)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖2-10中(1)的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖2-10中(2)的拋物線表示.

圖2-10

(1)寫出圖中(1)表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式P＝f(t)；

寫出圖中(2)表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式Q＝g(t)；

(2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?

(注：市場售價和種植成本的單位：元／10² ，kg，時間單位：天)

解：(1)由圖(1)可得市場售價與時間的函數(shù)關系為

f(t)＝

由圖(2)可得種植成本與時間的函數(shù)關系為

g(t)＝(t－150)²+100，0≤t≤300．

(2)設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)＝f(t)－g(t)，

即h(t)＝

當0≤t≤200時，配方整理得h(t)＝－(t－50)²+100，

所以，當t＝50時，h(t)取得區(qū)間［0，200］上的最大值100；

當200＜t≤300時，配方整理得

h(t)＝－(t－350)²+100，

所以，當t＝300時，h(t)取得區(qū)間(200，300］上的最大值87.5.

綜上，由100＞87．5可知，h(t)在區(qū)間［0，300］上可以取得最大值100，此時t＝50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大.

點評：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關系式和求函數(shù)最大值的問題.考查運用所學知識解決實際問題的能力.

題型4：三角函數(shù)型

例8．某港口水的深度y(m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，記作y=f(t)。下面是某日水深的數(shù)據：

t/h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/m	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

經長期觀察，y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象。(1)試根據以上數(shù)據求出函數(shù)y=f(t)的近似表達式；(2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的(船舶�？繒r，船底只需不碰海底即可)。某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m，如果該船希望在同一天內安全進出港，請問，它最多能在港內停留多少時間(忽進出港所需的時間)？

解析：題中直接給出了具體的數(shù)學模型，因此可直接采用表中的數(shù)據進行解答。

(1)由表中數(shù)據易得，周期T=12，，b=10，

所以。

(2)由題意，該船進出港時，水深應不小于

5+6.5=11.5(m)，

所以，

化為，

應有，

解得12k+1≤t≤12k+5　 (k∈Z)。

在同一天內取k=0或1，

所以1≤t≤5或13≤t≤17，

所以該船最早能在凌晨1時進港，最晚在下午17時出港，在港口內最多停留16個小時。

點評：三角型函數(shù)解決實際問題要以三角函數(shù)的性質為先，通過其單調性、周期性等性質解決實際問題。特別是與物理知識中的電壓、電流、簡諧振動等知識結合到到一塊來出題，為此我們要對這些物理模型做到深入了解。

題型5：不等式型

例9．(2006湖南理20)對1個單位質量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為.　有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗;　方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質量變?yōu)?sub>. 設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是,

其中是該物體初次清洗后的清潔度.。

(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.

解析：(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設有=0.99,解得x=19.

由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:　　　解得y=4,故z=4+3.

即兩種方案的用水量分別為19與4+3.

因為當,故方案乙的用水量較少.

(II)設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似(I)得

，(*)

于是+

當為定值時,,

當且僅當時等號成立.此時

將代入(*)式得

故時總用水量最少,

此時第一次與第二次用水量分別為,　　

最少總用水量是.

當,故T()是增函數(shù)，這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.

點評：該題建立了函數(shù)解析式后，通過基本不等式“”解釋了函數(shù)的最值情況，而解決了實際問題。該問題也可以用二次函數(shù)的單調性判斷。

例10．(2001上海，文、理21)用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥．對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農藥量的，用水越多洗掉的農藥量也越多，但總還有農藥殘留在蔬菜上．設用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函數(shù)f(x).

(1)試規(guī)定f(0)的值，并解釋其實際意義；

(2)試根據假定寫出函數(shù)f(x)應該滿足的條件和具有的性質；

(3)設f(x)=，現(xiàn)有a(a＞0)單位量的水，可以清洗一次，也

可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥量比較少?說明理由

解：(1)f(0)=1表示沒有用水洗時，蔬菜上的農藥量將保持原樣．

(2)函數(shù)f(x)應該滿足的條件和具有的性質是：f(0)=1，f(1)=，

在［0，+∞)上f(x)單調遞減，且0＜f(x)≤1．

(3)設僅清洗一次，殘留的農藥量為f₁＝，清洗兩次后，殘留的農藥量為

f₂＝，

則f₁－f₂＝．

于是，當a＞2時，f₁＞f₂；當a=2時，f₁＝f₂；當0＜a＜2時，f₁＜f₂．

因此，當a＞2時，清洗兩次后殘留的農藥量較少；

當a=2時，兩種清洗方法具有相同的效果；

當0＜a＜2時，一次清洗殘留的農藥量較少．

點評：本題主要考查運用所學數(shù)學知識和方法解決實際問題的能力。以及函數(shù)概念、性質和不等式證明的基本方法。

題型6：指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)

例11．有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量�，F(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合。

用，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)(我們稱其湖水污染質量分數(shù))，表示湖水污染初始質量分數(shù)。

(1)當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染初始質量分數(shù)；

(2)分析時，湖水的污染程度如何。

解析： (1)設，

因為為常數(shù)，，即，

則；

(2)設，

=

因為，，。污染越來越嚴重。

點評：通過研究指數(shù)函數(shù)的性質解釋實際問題。我們要掌握底數(shù)兩種基本情況下函數(shù)的性質特別是單調性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問題。譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來越嚴重”還是“污染越來越輕”

例12．現(xiàn)有某種細胞100個，其中有占總數(shù)的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經過多少小時，細胞總數(shù)可以超過個？(參考數(shù)據：).

解析：現(xiàn)有細胞100個，先考慮經過1、2、3、4個小時后的細胞總數(shù)，

　　1小時后，細胞總數(shù)為；

2小時后，細胞總數(shù)為；

3小時后，細胞總數(shù)為；

4小時后，細胞總數(shù)為；

可見，細胞總數(shù)與時間(小時)之間的函數(shù)關系為：　，

由，得，兩邊取以10為底的對數(shù)，得，

∴，

∵，

∴.　

答：經過46小時，細胞總數(shù)超過個。

點評：對于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)要熟練應用近似計算的知識，來對事件進行合理的解析。

試題詳情

1．解決實際問題的解題過程

(1)對實際問題進行抽象概括：研究實際問題中量與量之間的關系，確定變量之間的主、被動關系，并用x、y分別表示問題中的變量；

(2)建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學數(shù)學內，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；

(3)求解函數(shù)模型：根據實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結構特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.

這些步驟用框圖表示：

試題詳情

函數(shù)應用問題是高考的熱點，高考對應用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢。高考中重視對環(huán)境保護及數(shù)學課外的的綜合性應用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設情景的需要，函數(shù)試題設置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函數(shù)應用題、探索題、開放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動和靈活。

預測2007年的高考，將再現(xiàn)其獨特的考察作用，而函數(shù)類應用題，是考察的重點，因而要認真準備應用題型、探索型和綜合題型，加大訓練力度，重視關于函數(shù)的數(shù)學建模問題，學會用數(shù)學和方法尋求規(guī)律找出解題策略。

(1)題型多以大題出現(xiàn)，以實際問題為背景，通過解決數(shù)學問題的過程，解釋問題；

(2)題目涉及的函數(shù)多以基本初等函數(shù)為載體，通過它們的性質(單調性、極值和最值等)來解釋生活現(xiàn)象，主要涉計經濟、環(huán)保、能源、健康等社會現(xiàn)象。

試題詳情

2．收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等)的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應用。

試題詳情

1．利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；

試題詳情

2．學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合，這正是中學數(shù)學中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。

由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形(一般式、頂點式、零點式等)，所以，在解決二次函數(shù)的問題時，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進而導出二次函數(shù)的有關性質。

(1)二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題的關鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)。

(2)數(shù)形結合：二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質，如對稱性、單調性、凹凸性等。結合這些圖像特征解決有關二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀。因為二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。

試題詳情

1．函數(shù)零點的求法：

①(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根；

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點。

試題詳情

題型1：方程的根與函數(shù)零點

例1．(1)方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為(　 )

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)　　　　　 C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

(2)設a為常數(shù)，試討論方程的實根的個數(shù)。

解析：

(1)在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標，顯然在區(qū)間(1，3)內，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C。

(2)原方程等價于

即

構造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：

①當或時，原方程有一解；

②當時，原方程有兩解；

③當或時，原方程無解。

點評：圖象法求函數(shù)零點，考查學生的數(shù)形結合思想。本題是通過構造函數(shù)用數(shù)形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結合，要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷。

例2．(2005廣東19)設函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有。

(Ⅰ)試判斷函數(shù)的奇偶性；

(Ⅱ)試求方程=0在閉區(qū)間［－2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結論。

解析：由f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,

從而知函數(shù)不是奇函數(shù),

由

,從而知函數(shù)的周期為

又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);

(II)由

(III) 又

故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個解,在[－2005.0]上有400個解,所以函數(shù)在[－2005,2005]上有802個解。

點評：解題過程注重了函數(shù)的數(shù)字特征“”，即函數(shù)的零點，也就是方程的根。

題型2：零點存在性定理

例3．(2004廣東21)設函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù)。

(1)當為何值時，；

(2)定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點，使得

試用上述定理證明：當整數(shù)時，方程在內有兩個實根。

解析：(1)函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且

當x∈(－m,1－m)時,f ^’(x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m)

當x∈(1－m, +∞)時,f ^’(x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m)

根據函數(shù)極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且

對x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m

故當整數(shù)m≤1時，f(x) ≥1－m≥0

(2)證明：由(I)知，當整數(shù)m>1時，f(1－m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在上為連續(xù)減函數(shù).

由所給定理知，存在唯一的

而當整數(shù)m>1時，

類似地，當整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的

故當m>1時，方程f(x)=0在內有兩個實根。

點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應用上。

例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是(　 )

A．若，不存在實數(shù)使得；

B．若，存在且只存在一個實數(shù)使得；

C．若，有可能存在實數(shù)使得；

D．若，有可能不存在實數(shù)使得；

解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個解”；選項D正確，見實例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實數(shù)解”。

點評：該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。

題型3：二分法的概念

例5．關于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是()

A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內的所有零點得到；

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內的零點；

C．應用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]內有可能無零點；

D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內的精確解；

解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設，且在區(qū)間內存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區(qū)間內一定存在零點，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。

點評：該題深入解析了二分法的思想方法。

例6．方程在[0，1]內的近似解，用“二分法”計算到達到精確度要求。那么所取誤差限是(　 )

A．0.05 　　　　B．0.005　　　　 C．0.0005　　　 D．0.00005

解析：由四舍五入的原則知道，當時，精度達到。此時差限是0.0005，選項為C。

點評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。

題型4：應用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解

例7．借助計算器，用二分法求出在區(qū)間(1，2)內的近似解(精確到0.1)。

解析：原方程即。

令，

用計算器做出如下對應值表

x	－2	－1	0	1	2
f(x)	2.5820	3.0530	27918	1.0794	－4.6974

觀察上表，可知零點在(1，2)內

取區(qū)間中點=1.5，且，從而，可知零點在(1，1.5)內；

再取區(qū)間中點=1.25，且，從而，可知零點在(1.25，1.5)內；

同理取區(qū)間中點=1.375，且，從而，可知零點在(1.25，1.375)內；

由于區(qū)間(1.25，1.375)內任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。

點評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學會借助精度終止二分法的過程。

例8．借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解(精確到)。

分析：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)？

略解：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調函數(shù)，在，上至多有一個零點。

點評：①第一步確定零點所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通常可確定一個長度為1的區(qū)間；

②建議列表樣式如下：

零點所在區(qū)間	中點函數(shù)值	區(qū)間長度
[1，2]	>0	1
[1，1.5]	<0	0.5
[1.25，1.5]	<0	0.25

如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步。

題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點

例9．　設二次函數(shù)，方程的兩個根滿足.　當時，證明。

證明：由題意可知，

,

∴ ,

∴　當時，。

又,

∴　 ,

綜上可知，所給問題獲證。

點評：在已知方程兩根的情況下，根據函數(shù)與方程根的關系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式。

例10．已知二次函數(shù)，設方程的兩個實數(shù)根為和.

(1)如果，設函數(shù)的對稱軸為，求證：；

(2)如果，，求的取值范圍.

解析：設，則的二根為和。

(1)由及，可得　，即，

即

兩式相加得，所以，；

(2)由, 可得　。

又，所以同號。

∴ ，等價于

或,

即　或

解之得　或。

點評：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。

題型6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式

例11．設，若，，, 試證明：對于任意，有。

解析：∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 當時，

當時，

綜上，問題獲證。

點評：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應該注意到：所要求的結論不是確定值，而是與條件相對應的“取值范圍”，因此，我們可以用來表示。

例12．已知二次函數(shù)，當時，有，求證：當時，有

解析：由題意知：，

∴ ，

∴ 。

由時，有，可得。

∴ 　,

。

　　 (1)若，則在上單調，故當時，

∴ 　此時問題獲證.

(2)若，則當時，　　　　　　　　　

又，

∴ 　此時問題獲證。

綜上可知：當時，有。

點評：研究的性質，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應該盡量用已知條件來表達參數(shù). 確定三個參數(shù)，只需三個獨立條件，本題可以考慮，，，這樣做的好處有兩個：一是的表達較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數(shù)范圍的目的。