6．函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。
5．求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤。
4．求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化。
3．對于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象。
2．作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域
。
1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的。
題型1：三角函數(shù)的圖象
例1．(2000全國，5)函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是( )
解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝－xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以排除A、C，當(dāng)x∈(0，
)時，y＝－xcosx＜0。答案為D。
例2．(2002上海，15)函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是( )
解析：由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］為非奇非偶函數(shù)。選項(xiàng)A、D為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為非奇非偶函數(shù)。
點(diǎn)評：利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。
題型2：三角函數(shù)圖象的變換
例3．試述如何由y=
sin(2x+
)的圖象得到y=sinx的圖象。
解析：y=sin(2x+)
另法答案：
(1)先將y=sin(2x+)的圖象向右平移
個單位，得y=sin2x的圖象；
(2)再將y=sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得y=sinx的圖象；
(3)再將y=sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y=sinx的圖象。
例4．(2003上海春，15)把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移
個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是( )
A．(1－y)sinx+2y－3=0 B．(y－1)sinx+2y－3=0
C．(y+1)sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0
解析：將原方程整理為：y=
，因?yàn)橐獙⒃�向右、向下分別移動個單位和1個單位，因此可得y=
－1為所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.
點(diǎn)評：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式。如果對平移有深刻理解，可直接化為：(y+1)cos(x－)+2(y+1)－1=0，即得C選項(xiàng)。
題型3：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用
例5．已知電流I與時間t的關(guān)系式為
。
(1)右圖是(ω＞0，
)
在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求
的解析式；
(2)如果t在任意一段
秒的時間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？
解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力．
(1)由圖可知 A＝300。
設(shè)t1＝－
，t2＝
，
則周期T＝2(t2－t1)＝2(+)＝
。
∴ ω＝
＝150π。
又當(dāng)t＝時，I＝0，即sin(150π·+
)＝0，
而， ∴ ＝
。
故所求的解析式為
。
(2)依題意，周期T≤，即
≤，(ω>0)
∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故最小正整數(shù)ω＝943。
點(diǎn)評:本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言．其中，讀圖、識圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑。
例6．(1)(2003上海春，18)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+
)(A>0，ω>0，x∈R)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線y=
與函數(shù)f(x)圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)。
解析：根據(jù)圖象得A=2，T=
π－(－)=4π，
∴ω=
，∴y=2sin(
+)，
又由圖象可得相位移為－，∴－
=－，∴=
.即y=2sin(x+)。
根據(jù)條件=2sin(
)，∴=2kπ+
(k∈Z)或=2kπ+
π(k∈Z)，
∴x=4kπ+
(k∈Z)或x=4kπ+
π(k∈Z)。
∴所有交點(diǎn)坐標(biāo)為(4kπ+
)或(4kπ+
)(k∈Z)。
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。
(2)(2002全國文5，理4)在(0，2π)內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為( )
A．(，)∪(π，
) B．(，π)
C．(，)
D．(，π)∪(，
)
解析：C；
解法一：作出在(0，2π)區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
和
，由圖1可得C答案。
圖1 圖2
解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C。(如圖2)
題型4：三角函數(shù)的定義域、值域
例7．(1)已知f(x)的定義域?yàn)椋?，1］，求f(cosx)的定義域；
(2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域；
分析：求函數(shù)的定義域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)＞0，這里的cosx以它的值充當(dāng)角。
解析：(1)0≤cosx＜1
2kπ－
≤x≤2kπ+，且x≠2kπ(k∈Z)。
∴所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。
(2)由sin(cosx)＞02kπ＜cosx＜2kπ+π(k∈Z)。
又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。
故所求定義域?yàn)閧x｜x∈(2kπ－，2kπ+)，k∈Z}。
點(diǎn)評：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線。
例8．(2003京春，18)已知函數(shù)f(x)=
，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域。
解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠
，k∈Z，所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠
，k∈Z}，
因?yàn)?i>f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且f(－x)=
=f(x)。
所以f(x)是偶函數(shù)。
又當(dāng)x≠
(k∈Z)時，
f(x)=
。
所以f(x)的值域?yàn)閧y|－1≤y<
或<y≤2}。
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。
題型5：三角函數(shù)的單調(diào)性
例9．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)y=
sin(
－
)；(2)y=－｜sin(x+)｜。
分析：(1)要將原函數(shù)化為y=－sin(
x－)再求之。
(2)可畫出y=－|sin(x+)|的圖象。
解：(1)y=sin(－)=－sin(－)。
故由2kπ－≤－≤2kπ+。
3kπ－
≤x≤3kπ+
(k∈Z)，為單調(diào)減區(qū)間；
由2kπ+≤－≤2kπ+
。
3kπ+≤x≤3kπ+
(k∈Z)，為單調(diào)增區(qū)間。
∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］，
遞增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+］(k∈Z)。
(2)y=－|sin(x+)|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+
］，減區(qū)間為［kπ－，kπ+］。
例10．(2002京皖春文，9)函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是( )
A．［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)
B．［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)
C．［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)
D．［2kπ，2kπ+π］(k∈Z)
解析：A；函數(shù)y=2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間。
題型6：三角函數(shù)的奇偶性
例11．判斷下面函數(shù)的奇偶性：f(x)=lg(sinx+
)。
分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后再看f(x)與f(－x)的關(guān)系。
解析：定義域?yàn)镽，又f(x)+f(－x)=lg1=0，
即f(－x)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)。
點(diǎn)評：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要(但不充分)條件。
例12．(2001上海春)關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+)有以下命題：
①對任意的，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；
②不存在，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
③存在，使f(x)是奇函數(shù)；
④對任意的，f(x)都不是偶函數(shù)。
其中一個假命題的序號是_____.因?yàn)楫?dāng)=_____時，該命題的結(jié)論不成立。
答案：①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)
解析：當(dāng)=2kπ，k∈Z時，f(x)=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2(k+1)π，k∈Z時f(x)=－sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2kπ+，k∈Z時，f(x)=cosx，或當(dāng)=2kπ－，k∈Z時，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無論為何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個空全答對才能得分。
題型7：三角函數(shù)的周期性
例13．求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值。
分析：將原函數(shù)化成y=Asin(ωx+
)+B的形式，即可求解。
解析：y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x－sin2xcos2x+cos4x)
=1－3sin2xcos2x=1－
sin22x=
cos4x+
。
∴T=。
當(dāng)cos4x=1，即x=
(k∈Z)時，ymax=1。
例14．設(shè)
的周期
，最大值
，
(1)求
、
、
的值；
(2)
。
解析：(1) 
， 
， 
，
又 
的最大值。
， 
�、佟� ，且 
②，
由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2)
， 
，
，
， 或 
，
即 
(
共線，故舍去) ， 或 
，
。
點(diǎn)評：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數(shù)的周期性。
題型8：三角函數(shù)的最值
例15．(2003京春文，2)設(shè)M和m分別表示函數(shù)y=
cosx－1的最大值和最小值，則M+m等于( )
A．
B．－
C．－
D．－2
解析：D；因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=cosx的最大值、最小值分別為1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值為－和－。因此M+m=－2。
例16．(2000京、皖春理，10)函數(shù)y＝
的最大值是( )
A．
－1 B．+1 C．1－ D．－1－
解析：B；
。
9．五點(diǎn)法作y=Asin(ωx+)的簡圖：
五點(diǎn)取法是設(shè)x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。
8．求三角函數(shù)的周期的常用方法：
經(jīng)過恒等變形化成“
、
”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。
7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、
的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；
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