學(xué)習(xí)力提升八年級數(shù)學(xué)浙教版
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13. 如圖，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^\circ$，直角$\angle EPF$的頂點$P$是$BC$的中點，兩邊$PE$，$PF$分別交$AB$，$AC$于點$E$，$F$，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①$AE = CF$；②$\triangle PEF$是等腰直角三角形；③$EF = AP$；④$S_{四邊形AEPF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。當(dāng)$\angle EPF$在$\triangle ABC$內(nèi)部繞頂點$P$旋轉(zhuǎn)時（點$E$不與點$A$，$B$重合），上述結(jié)論正確的是________（填寫序號）。
答案：①②④
解析：連接$AP$。因為$AB = AC$，$\angle BAC = 90^\circ$，$P$是$BC$中點，所以$AP = CP$，$\angle BAP=\angle C = 45^\circ$，$AP\perp BC$。因為$\angle EPF = 90^\circ$，所以$\angle APE+\angle APF = 90^\circ$，又$\angle CPF+\angle APF = 90^\circ$，所以$\angle APE=\angle CPF$，則$\triangle APE\cong\triangle CPF(ASA)$，所以$AE = CF$，①正確；$PE = PF$，所以$\triangle PEF$是等腰直角三角形，②正確；$S_{四邊形AEPF}=S_{\triangle AEP}+S_{\triangle AFP}=S_{\triangle CPF}+S_{\triangle AFP}=S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，④正確；$EF$長度隨旋轉(zhuǎn)變化，$AP$為定值，所以③錯誤。故填①②④。
14. 如圖，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle CAB-\angle B = 30^\circ$，點$P$是線段$BC$上的一個動點（點$P$不與點$B$，$C$重合），過點$P$作$PH\perp AB$，垂足為點$H$，連結(jié)$AP$，當(dāng)點$Q$是線段$AP$上的中點時，連結(jié)$CQ$，$QH$，$\angle CQH$的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？請你作出判斷，并說明理由。
答案：$\angle CQH$度數(shù)不變，為$60^\circ$。
理由：在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle CAB+\angle B = 90^\circ$，又$\angle CAB-\angle B = 30^\circ$，解得$\angle CAB = 60^\circ$，$\angle B = 30^\circ$。因為$Q$是$AP$中點，在$Rt\triangle ACP$中，$CQ=\frac{1}{2}AP = AQ$，所以$\angle QCA=\angle QAC$；在$Rt\triangle AHP$中，$QH=\frac{1}{2}AP = AQ$，所以$\angle QAH=\angle QHA$。設(shè)$\angle QAC = x$，則$\angle QAH = 60^\circ - x$，$\angle CQH = 180^\circ - \angle AQC - \angle AQH$，$\angle AQC = 180^\circ - 2x$，$\angle AQH = 180^\circ - 2(60^\circ - x)=60^\circ + 2x$，所以$\angle CQH = 180^\circ-(180^\circ - 2x)-(60^\circ + 2x)=60^\circ$。
