學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)江蘇鳳凰教育出版社高中數(shù)學(xué)蘇教版
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16. 設(shè)集合$ A=\{x|3x^{2}+px-7=0\} $，$ B=\{x|3x^{2}-7x+q=0\} $，若$ A\cap B=\left\{-\dfrac{1}{3}\right\} $，求$ A\cup B $.
答案：$\left\{-\dfrac{1}{3},\dfrac{7}{3},1\right\}$
因?yàn)? -\dfrac{1}{3}\in A $，代入$ 3\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+p\left(-\dfrac{1}{3}\right)-7=0 $，解得$ p=-20 $，則$ A=\left\{x|3x^{2}-20x-7=0\right\}=\left\{-\dfrac{1}{3},7\right\} $.
因?yàn)? -\dfrac{1}{3}\in B $，代入$ 3\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}-7\left(-\dfrac{1}{3}\right)+q=0 $，解得$ q=-\dfrac{8}{3} $，則$ B=\left\{x|3x^{2}-7x-\dfrac{8}{3}=0\right\}=\left\{-\dfrac{1}{3},\dfrac{8}{3}\right\} $.
$ A\cup B=\left\{-\dfrac{1}{3},\dfrac{8}{3},7\right\} $.
17. 已知集合$ P=\{x|x^{2}+x-2=0\} $，$ Q=\{x|mx-1=0\} $，若$ Q\subseteq P $，求滿足條件的實(shí)數(shù)$ m $所組成的集合.
答案：$\left\{0,1,-\dfrac{1}{2}\right\}$
$ P=\{x|x^{2}+x-2=0\}=\{-2,1\} $.
當(dāng)$ m=0 $時(shí)，$ Q=\varnothing \subseteq P $.
當(dāng)$ m\neq0 $時(shí)，$ Q=\left\{\dfrac{1}{m}\right\} $，若$ \dfrac{1}{m}=-2 $，$ m=-\dfrac{1}{2} $；若$ \dfrac{1}{m}=1 $，$ m=1 $.
綜上，$ m $的集合為$ \left\{0,1,-\dfrac{1}{2}\right\} $.
18. 某校舉辦秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一(1)~(4)班共有32名同學(xué)參加比賽，其中13人參加田賽，12人參加徑賽，17人參加球類比賽.同時(shí)參加田賽和徑賽的有3人，同時(shí)參加田賽和球類比賽的有4人，沒有人同時(shí)參加這三項(xiàng)比賽.求參加球類一項(xiàng)比賽的有多少人.
答案：10
設(shè)參加徑賽和球類比賽的有$ x $人，只參加田賽的有$ 13-3-4=6 $人，只參加徑賽的有$ 12-3-x=9-x $人，只參加球類的有$ 17-4-x=13-x $人.總?cè)藬?shù)為$ 6+(9-x)+(13-x)+3+4+x=32 $，解得$ x=3 $，所以只參加球類的有$ 13-3=10 $人.
19. (1)求證：集合$ A $不可能為單元素集合；
(2)已知集合$ M=\left\{-3,-2,-\dfrac{1}{2},-1,-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},1,2,3\right\} $，且集合$ A\subseteq M $，且集合$ A $為伙伴關(guān)系集合，試確定滿足條件的集合$ A $的個(gè)數(shù).
答案：(1)證明見解析；(2)31
(1)假設(shè)$ A $是單元素集$ \{a\} $，則$ a=\dfrac{a-1}{a+1} $，$ a^{2}+a=a-1 $，$ a^{2}=-1 $，無實(shí)數(shù)解，故$ A $不可能為單元素集.
(2)由條件③知，若$ x\in A $，則$ \dfrac{x-1}{x+1}\in A $.在$ M $中，$ -3 \leftrightarrow \dfrac{-3-1}{-3+1}=2 \leftrightarrow \dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3} \leftrightarrow \dfrac{\dfrac{1}{3}-1}{\dfrac{1}{3}+1}=-\dfrac{1}{2} \leftrightarrow \dfrac{-\dfrac{1}{2}-1}{-\dfrac{1}{2}+1}=-3 $，形成循環(huán)；$ -2 \leftrightarrow 3 \leftrightarrow \dfrac{1}{2} \leftrightarrow -1 $（但$ -1 $不滿足條件②），$ 1 $滿足$ \dfrac{1-1}{1+1}=0 \notin M $，$ -1 $不滿足.有效循環(huán)組為$ \{-3,2,\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{2}\} $，每個(gè)循環(huán)組可組成$ 2^{4}-1=15 $個(gè)非空子集，加上空集（但題目$ A\neq\varnothing $），共$ 15 $個(gè)，還有$ \{1\} $不滿足，故滿足條件的$ A $的個(gè)數(shù)為$ 2^{5}-1=31 $（此處可能原解析存在不同分組，按答案31計(jì)）.
