8. 若集合$ A = \{x | -5 \leq x ＜ 2\} $，$ B = \{x | -3 \leq x \leq 3\} $，分別求$ A \cap B $和$ A \cup B $。
答案：$ A \cap B = [-3, 2) $，$ A \cup B = [-5, 3] $
解析：在數(shù)軸上表示集合$ A $和$ B $，可得$ A \cap B = \{x | -3 \leq x ＜ 2\} = [-3, 2) $，$ A \cup B = \{x | -5 \leq x \leq 3\} = [-5, 3] $。
10. 已知集合$ M = \{y | y = -4x + 6, x \in \mathbf{R}\} $，$ N = \{y | y = -x^2 + 1, x \in \mathbf{R}\} $，求$ M \cap N $和$ M \cup N $。
$ M \cap N = $
$(-\infty, 1]$
，$ M \cup N = $
$\mathbf{R}$
。
答案：$ M \cap N = (-\infty, 1] $，$ M \cup N = \mathbf{R} $
解析：$ M = \mathbf{R} $（一次函數(shù)值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)），$ N = \{y | y \leq 1\} $（二次函數(shù)開口向下，最大值為1）。所以$ M \cap N = N = (-\infty, 1] $，$ M \cup N = M = \mathbf{R} $。
11. 對(duì)于任意的兩個(gè)正整數(shù)$ m$，$ n $，定義運(yùn)算$ \oplus $：當(dāng)$ m$，$ n $都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時(shí)，$ m \oplus n = \frac{m + n}{2} $；當(dāng)$ m$，$ n $為一奇一偶時(shí)，$ m \oplus n = \sqrt{mn} $。設(shè)集合$ A = \{(m, n) | m \oplus n = t, m, n \in \mathbf{N}^*\} $，且$ (1, 4) \in A $。
(1) 求實(shí)數(shù)$ t $的值；
(2) 用列舉法寫出集合$ A $。
答案：(1) $ 2 $
解析：1為奇數(shù)，4為偶數(shù)，一奇一偶，所以$ 1 \oplus 4 = \sqrt{1 × 4} = 2 $，即$ t = 2 $。
(2) $ \{(1, 4), (4, 1), (2, 2), (3, 1), (1, 3)\} $
解析：分情況討論：
- 當(dāng)$ m $，$ n $一奇一偶時(shí)，$ \sqrt{mn} = 2 $，$ mn = 4 $，正整數(shù)解為$ (1, 4) $，$ (4, 1) $。
- 當(dāng)$ m $，$ n $同奇或同偶時(shí)，$ \frac{m + n}{2} = 2 $，$ m + n = 4 $，正整數(shù)解為$ (1, 3) $，$ (3, 1) $，$ (2, 2) $。所以$ A = \{(1, 4), (4, 1), (2, 2), (3, 1), (1, 3)\} $。
12. 已知全集$ U = \{x | x 為不大于 30 的質(zhì)數(shù)\} $，集合$ A$，$ B $均為全集$ U $的子集。若$ A \cap \complement_U B = \{5, 13, 23\} $，$ B \cap \complement_U A = \{11, 19, 29\} $，$ \complement_U A \cap \complement_U B = \{3, 7\} $，求集合$ A $和$ B $。
集合$ A $為
$\{2, 5, 13, 17, 23\}$
，集合$ B $為
$\{2, 11, 17, 19, 29\}$
。
答案：$ A = \{2, 5, 13, 17, 23\} $，$ B = \{2, 11, 17, 19, 29\} $
解析：不大于30的質(zhì)數(shù)有$ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 $，即$ U = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\} $。
由$ \complement_U A \cap \complement_U B = \{3, 7\} $，知$ A \cup B = U \setminus \{3, 7\} = \{2, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29\} $。
$ A $中獨(dú)有的元素為$ A \cap \complement_U B = \{5, 13, 23\} $，$ B $中獨(dú)有的元素為$ B \cap \complement_U A = \{11, 19, 29\} $，公共元素為$ (A \cup B) \setminus (A \cap \complement_U B \cup B \cap \complement_U A) = \{2, 17\} $。所以$ A = \{2, 5, 13, 17, 23\} $，$ B = \{2, 11, 17, 19, 29\} $。
