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1.若集合M＝{x∈R|－3＜x＜1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，則M∩N＝　　　　　 (　)

A.{0}　　B.{－1,0}　　　 C.{－1,0,1}　 　　　D.{－2，－1,0,1,2}

解析：因為集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}.

答案：B

在具體解題時往往找不出夾角，關鍵是不能求斜線在平面內的射影，通過練習，使學生在不同的視圖中能較熟練地找出射影

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AA₁、A₁D₁的中點，求：

(1)D₁B₁與面AC所成角的余弦值；

(2)EF與面A₁C₁所成的角；

(3)EF與面AC所成的角．

解：(1)設正方體的邊長為a，則在中，.

∴.

(2)45°．(3)45°．

在具體解題時，關鍵是求斜線在平面內的射影

3．若P為⊿ABC所在平面外一點，且PA=PB=PC，求證點P在⊿ABC所在平面內的射影是⊿ABC的外心.

分析：斜線段長相等，則射影長也相等從而由PA=PB=PC，點P的射影到⊿ABC的三個頂點的距離相等，所以射影為⊿ABC的外心.

1?選擇題

　(1)一條直線和平面所成角為θ，那么θ的取值范圍是(　 )

　　 (A)(0º,90º)　　　 (B)[0º,90º]　　　　　 (C)[0º,180º]　　　　 (D)[0º,180º)

　(2)兩條平行直線在平面內的射影可能是①兩條平行線；②兩條相交直線；③一條直線；④兩個點. 上述四個結論中，可能成立的個數是 (　 )

　　　　 (A)1個　　　　　 (B)2個　　　　 (C)3個　　　　 (D)4個

　(3)從平面外一點P引與平面相交的直線，使P點與交點的距離等于1，則滿足條件的直線條數不可能是(　 )

　　　　 (A)0條或1條　　　　　　　　　 (B)0條或無數條　　　　　　　　　　　　

(C)1條或2條　　　　　　　　　　 (D)0條或1條或無數條

　答案：(1)B　 (2)C　 (3)D

2．填空題

　(1)設斜線與平面a所成角為θ，斜線長為，則它在平面內的射影長是　　　　 .

　(2)一條與平面相交的線段，其長度為10cm，兩端點到平面的距離分別是2cm，3cm，這條線段與平面a所成的角是　　　　 .

　(3)若(2)中的線段與平面不相交，兩端點到平面的距離分別是2cm，3cm，則線段所在直線與平面a所成的角是　　　 .

　　 答案：(1)　 (2)　 (3)

例1 如圖，已知是平面的一條斜線，為斜足，為垂足，為內的一條直線，，求斜線和平面所成角

解：∵，由斜線和平面所成角的定義可知，為和所成角，

　又∵，

∴，

∴，即斜線和平面所成角為．

例2．如圖，在正方體中，求面對角線與對角面所成的角

解法一：連結與交于，連結，

∵，，∴平面，

∴是與對角面所成的角，

在中，，∴．

解法二：由法一得是與對角面所成的角，

又∵，，

∴，∴．

說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影，后求斜線與其射影的夾角另外，在條件允許的情況下，用公式求線面角顯得更加方便

解法三：建立空間直角坐標系，用向量計算

例3．已知空間四邊形的各邊及對角線相等，求與平面所成角的余弦值

解：過作平面于點，連接，

∵，∴是正三角形的外心，

設四面體的邊長為，則，

∵，∴即為與平面所成角，

∴，所以，與平面所成角的余弦值為．

例4 如圖，已知AP⊥BP，PA⊥PC，∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC=BC，D是BC中點，求AD與平面PBC所成角的余弦值.

解：∵AP⊥BP，PA⊥PC，∴AP⊥PBC

連PD，則PD就是AD在平面PBC上的射影

∴∠PDA就是AD與平面PBC所成角

又∵∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC=BC，D是BC中點，

∴PD=,　 PA=BC　 ∴AD=

∴

∴AD與平面PBC所成角的余弦值為

4．公式

已知平面a的斜線a與a內一直線b相交成θ角，且a與a相交成j₁角，a在a上的射影c與b相交成j₂角，則有

用幾何法研究：

在平面a的斜線a上取一點P，過點P分別作直線c、b的垂線PO、PB，垂足為O、B

連接OB，則OB⊥b.

在直角△AOP中，.

在直角△ABC中，.

在直角△ABP中，.

所以

所以成立

用向量運算研究：

如圖，是平面的斜線，是斜足，垂直于平面，為垂足，則直線是斜線在平面內的射影設是平面內的任意一條直線，且，垂足為，又設與所成角為，與所成角為，與所成角為，則易知：

，

又∵，

可以得到：，

則同樣可以得到：平面的斜線和它在平面內的射影所成角，是這條斜線和這個平面內的任一條直線所成角中最小的角；

3．直線和平面所成角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角

一直線垂直于平面，所成的角是直角

一直線平行于平面或在平面內，所成角為0°角

直線和平面所成角范圍： [0，]

(2)定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角

證明：設平面的一條斜線在內的射影為，角是與所成的角

直線OD是平面內與不同的任意一條直線，過點上的點A引AC垂直于OD，垂足為C

因為AB<AC，

所以，即,因此

1 斜線,垂線,射影

⑴垂線　 自一點向平面引垂線,垂足叫這點在這個平面上的射影. 這個點和垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段.

⑵斜線　 一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線斜線和平面的交點叫斜足；斜線上一點與斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段

⑶射影 　過斜線上斜足外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影垂足和斜足間線段叫這點到這個平面的斜線段在這個平面內的射影

直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線直線與平面垂直射影是點斜線任一點在平面內的射影一定在斜線的射影上

2．射影長相等定理:從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線中

⑴射影相交兩條斜線相交；射影較長的斜線段也較長

⑵相等的斜線段射影相等，較長的斜線段射影較長

⑶垂線段比任何一條斜線段都短

⑴OB=OCÞAB=AC　 　OB>OCÞAB>AC

⑵AB=ACÞOB=OC　 AB>ACÞOB>OC

⑶OA<AB，OA<AC