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18．(本小題滿分15分)

已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、

C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為(m，n)．

(Ⅰ)當(dāng)m+n>0時，求橢圓離心率的范圍；

(Ⅱ)直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．

解：(Ⅰ)設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為(－c，0)，(0，b)，(1，0)，則FC、BC的中垂線分別為

，．………………………………………………………………2分

聯(lián)立方程組，解出……………………………………………………………4分

，即，即(1+b)(b－c)>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

從而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

(Ⅱ)直線AB與⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

如果直線AB與⊙P相切，則·＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直線AB與⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

評講建議：

此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識，要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于橢圓中a，b，c的齊次等式得離心率的范圍．第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設(shè)直線AB與⊙P相切，則有AB²＝AF×AC，易由橢圓中a，b，c的關(guān)系推出矛盾．

試題詳情

17．(本小題滿分15分)

口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：

甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，

否則算乙贏．

(Ⅰ)求甲贏且編號的和為6的事件發(fā)生的概率；

(Ⅱ)這種游戲規(guī)則公平嗎?試說明理由．

解：(I)設(shè)“甲勝且兩數(shù)字之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為

(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5個．……………………2分

又甲、乙二人取出的數(shù)字共有5×5＝25(個)等可能的結(jié)果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：編號的和為6的概率為．…………………………………………………………………7分

　　 (Ⅱ)這種游戲規(guī)則不公平．……………………………………………………………………9分

設(shè)“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C， ……………………………………………10分

則甲勝即兩數(shù)字之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為13個：

(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，

(4，2) ，(4，4)，(5，1) ，(5，3)，(5，5)．

所以甲勝的概率P(B)＝，從而乙勝的概率P(C)＝1－＝．…………14分

由于P(B)≠P(C)，所以這種游戲規(guī)則不公平． ………………………………15分

評講建議：

　　本題主要考查古典概率的計算及其相關(guān)知識，要求學(xué)生列舉全面，書寫規(guī)范．尤其注意此類問題的答題格式：設(shè)事件、說明概型、計算各基本事件種數(shù)、求值、作答．

引申：連續(xù)玩此游戲三次，若以D表示甲至少贏一次的事件，E表示乙至少贏兩次的事件，試問D與E是否為互斥事件?為什么?(D與E不是互斥事件．因為事件D與E可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意；亦可分別求P(D)、P(E)，由P(D)+ P(E)>1可得兩者一互斥．)

試題詳情

16．(本小題滿分14分)

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

(Ⅰ)求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

(Ⅱ)在A₁B₁上是否存一點P，使得DP與平面BCB₁與

平面ACB₁都平行？證明你的結(jié)論．

證明：(Ⅰ) 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．　 ………………7分

(Ⅱ)存在點P，P為A₁B₁的中點． ……………………………………………………………8分

證明：由P為A₁B₁的中點，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁為平行四邊形，從而CB₁∥DP．……………………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．……………………………………………………………………14分

評講建議：

本題主要考查線面平行、垂直的的判定和證明等相關(guān)知識，第一小題要引導(dǎo)學(xué)生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小題，要求學(xué)生熟練掌握一個常用結(jié)論：若一直線與兩相交平面相交，則這條直線一定與這兩平面的交線平行；同時注意問題的邏輯要求和答題的規(guī)范性，這里只需要指出結(jié)論并驗證其充分性即可，當(dāng)然亦可以先探求結(jié)論，再證明之，這事實上證明了結(jié)論是充分且必要的．

變題：

求證：(1)A₁B⊥B₁D；(2)試在棱AB上確定一點E，使A₁E∥平面ACD₁，并說明理由．

試題詳情

15．(本小題滿分14分)

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．

　(Ⅰ)求角A；

(Ⅱ)若m，n，試求|mn|的最小值．

解：(Ⅰ)，……………………………………………3分

即，

∴，∴． ………………………………………………5分

∵，∴．………………………………………………………………7分

(Ⅱ)mn ，

|mn|．…………10分

∵，∴，∴．

從而．……………………………………………………………12分

∴當(dāng)＝1，即時，|mn|取得最小值．……………………13分

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

評講建議：

　　本題主要考查解三角形和向量的運算等相關(guān)知識，要求學(xué)生涉及三角形中三角恒等變換時，要從化角或化邊的角度入手，合理運用正弦定理或余弦定理進行化簡變形；在第二小題中，要強調(diào)多元問題的消元意識，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意定義域的確定對結(jié)論的影響，并指明取最值時變量的取值．