南粵學(xué)典學(xué)考精練九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版
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8. 一元二次方程$x^{2}+px + q=0$的兩個(gè)根分別是$3+\sqrt{5}$和$3-\sqrt{5}$，則$p=$
-6
，$q=$
4
.
答案：-6；4
解析：$p=-(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5})=-6$，$q=(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9 - 5=4$。
9. 已知方程$x^{2}-mx - 2=0$的兩根互為相反數(shù)，則$m=$
0
.
答案：0
解析：兩根互為相反數(shù)，$x_{1}+x_{2}=m=0$。
10. 已知方程$2x^{2}-3x + k=0$的兩根之差為$\frac{5}{2}$，則$k=$
-2
.
答案：-2
解析：設(shè)兩根為$x_{1}$，$x_{2}$，$|x_{1}-x_{2}|=\frac{5}{2}$，$(x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{25}{4}$，$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=\frac{25}{4}$，$(\frac{3}{2})^{2}-4×\frac{k}{2}=\frac{25}{4}$，解得$k=-2$。
11. 設(shè)關(guān)于$x$的方程$x^{2}-6x + k=0$的兩個(gè)根分別是$m$和$n$，且$3m + 2n=20$，則$k=$
-16
.
答案：-16
解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得$m + n = 6$，聯(lián)立$3m + 2n = 20$，解得$m = 8$，$n=-2$，則$k=mn=8\times(-2)=-16$。
12. 關(guān)于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx + 2m - 1=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7$，則$m$的值是
-1
.
答案：-1
解析：$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=m^{2}-2(2m - 1)=7$，解得$m=-1$（$m=5$舍去，因?yàn)?\Delta＜0$）。
13. 已知關(guān)于$x$的方程$x^{2}-2(k - 1)x + k^{2}=0$有兩個(gè)實(shí)數(shù)根$x_{1}$，$x_{2}$.
（1）求$k$的取值范圍；
（2）若$|x_{1}+x_{2}|=x_{1}x_{2}-1$，求$k$的值.
答案：（1）$k\leq\frac{1}{2}$
解析：$\Delta=4(k - 1)^{2}-4k^{2}\geq0$，解得$k\leq\frac{1}{2}$。
（2）$k=-3$
解析：$x_{1}+x_{2}=2(k - 1)$，$x_{1}x_{2}=k^{2}$，$|2(k - 1)|=k^{2}-1$，因?yàn)?k\leq\frac{1}{2}$，所以$-2(k - 1)=k^{2}-1$，解得$k=-3$（$k=1$舍去）。
1. （2024·日照）已知實(shí)數(shù)$x_{1}$，$x_{2}$（$x_{1}≠x_{2}$）是關(guān)于$x$的方程$kx^{2}+2kx + 1=0$（$k≠0$）的兩個(gè)根. 若$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=2$，則$k$的值為（
B
）
A. 1
B. -1
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2}$
答案：B
解析：$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-2k}{k}=-2=2$，解得$k=-1$，故選B。
2. （2024·瀘州）已知$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x - 5=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是
6
.
答案：14
解析：$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}$，因?yàn)?x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-5$，所以原式$=3^{2}-(-5)=9 + 5=14$。
3. （2024·煙臺(tái)）若一元二次方程$2x^{2}-4x - 1=0$的兩根為$m$，$n$，則$3m^{2}-4m + n^{2}$的值為
6
.
答案：6
解析：因?yàn)?m$是方程$2x^{2}-4x - 1=0$的根，所以$2m^{2}-4m=1$。又因?yàn)?m + n=2$，$mn=-\frac{1}{2}$，則$m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=2^{2}-2\times(-\frac{1}{2})=4 + 1=5$。所以$3m^{2}-4m + n^{2}=m^{2}+(2m^{2}-4m)+n^{2}=m^{2}+n^{2}+1=5 + 1=6$。
