南粵學(xué)典學(xué)考精練九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版
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11. 已知關(guān)于$x$的一元二次方程$(x - 1)(x - 2k)+k(k - 1)=0$，求證：該一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
答案：證明：方程整理為$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$，$\Delta=(2k + 1)^{2}-4(k^{2}+k)=1＞0$，所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
12. 閱讀下面的例題，請(qǐng)參照例題解方程$x^{2}-\vert x - 1\vert - 1=0$.
例：解方程$x^{2}-\vert x\vert - 2=0$.
解：①當(dāng)$x\geq0$時(shí)，原方程化為$x^{2}-x - 2=0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$（不合題意，舍去）；
②當(dāng)$x＜0$時(shí)，原方程化為$x^{2}+x - 2=0$，
解得$x_{3}=1$（不合題意，舍去），$x_{4}=-2$.
∴原方程的解是
$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$
.
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$
解析：①當(dāng)$x\geq1$時(shí)，方程化為$x^{2}-(x - 1)-1=0$，即$x^{2}-x = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=0$（舍去）；
②當(dāng)$x＜1$時(shí)，方程化為$x^{2}-(1 - x)-1=0$，即$x^{2}+x - 2=0$，解得$x_{3}=1$（舍去），$x_{4}=-2$；
綜上，原方程的解是$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$。
1. （2024·山東濰坊）已知關(guān)于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx - n^{2}+mn + 1=0$，其中$m$，$n$滿足$m - 2n=3$，關(guān)于該方程根的情況，下列判斷正確的是（
C
）
A. 無(wú)實(shí)數(shù)根
B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D. 無(wú)法確定
答案：C
解析：由$m = 2n + 3$，代入$\Delta=m^{2}+4(n^{2}-mn - 1)=(2n + 3)^{2}+4(n^{2}-(2n + 3)n - 1)=4n^{2}+12n + 9 + 4(-n^{2}-3n - 1)=5＞0$，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
2. （2024·廣東）若關(guān)于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + c=0$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則$c=$
1
.
答案：1
解析：$\Delta=4 - 4c = 0$，解得$c = 1$。
3. （2024·廣州節(jié)選）關(guān)于$x$的方程$x^{2}-2x + 4 - m=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求$m$的取值范圍.
答案：$m＞3$
解析：$\Delta=4 - 4(4 - m)=4m - 12＞0$，解得$m＞3$。
