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6. 已知函數(shù)f(x) = 2x²－x,則使得數(shù)列{}(n∈N⁺)成等差數(shù)列的非零常數(shù)p與q所滿足的關(guān)系式為　　　 .p=-2q

5. 一個機器貓每秒前進或后退一步，程序設(shè)計人員讓機器貓以每前進3步，然后再后退2步的規(guī)律移動；如果將此機器貓放在數(shù)軸的原點上，面向正的方向，以1步的距離為1個單位長，令P(n)表示第n秒時機器貓所在的位置的坐標，且P(0)=0，那么下列結(jié)論中錯誤的是( C)

(A)P(3)=3　　 (B)P(5)=1　　 (C)P(101)=21　　 (D)P(103)<P(104)

4. 彈子棋共有60顆大小相同的球形彈子，現(xiàn)在棋盤上將它疊成正四面體形的球垛，使剩下的彈子盡可能少，那么剩余的彈子有(B)

(A)0顆　　　　 (B)4顆　　　 (C)5顆　　　　 (D)11顆

3. 若數(shù)列{a_n}滿足若，則的值為(　 B )

(A) 　　　　　(B) 　　　　　(C) 　　　　　　(D)

2. 數(shù)學(xué)拓展課上，老師定義了一種運算“*”，對于n∈N*滿足以下運算性質(zhì)：

(1) 2_*2 = 1，(2) ( 2n + 2) _* 2 = 3(2n _* 2)．則2n_*2用含n的代數(shù)式表示為 3^n-1_

1. 設(shè)數(shù)列的前n項和為，令，稱為數(shù)列，，…，的“理想數(shù)”，已知數(shù)列，，…，的“理想數(shù)”為2004，那么數(shù)列2， ，，……，的“理想數(shù)”為(A)

(A) 2002　　　　　 (B) 2004　　　　 (C) 2006　　　　 (D) 2008

6．已知函數(shù)f (x)=，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f (x)在處的切線與

經(jīng)過(0，0)和(x,f (x))兩點的直線平行(如圖).

求證：當n時，

　(Ⅰ) 　x

(Ⅱ).

[專家解答](I ) 證明：因為

所以曲線在處的切線斜率

即和兩點的直線斜率是 以.

(II)因為函數(shù)，當時單調(diào)遞增，

而，

所以，即　 　因此

又因為　 令　 則

因為　　 所以

因此　 故

★★★高考要考什么

[考點透視]

本專題是等差(比)數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，同時加強數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，是歷年的重點內(nèi)容之一，近幾年考查的力度有所增加，體現(xiàn)高考是以能力立意命題的原則．

[熱點透析]

高考中常常把數(shù)列、極限與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等等相關(guān)內(nèi)容綜合在

一起，再加以導(dǎo)數(shù)和向量等新增內(nèi)容，使數(shù)列綜合題新意層出不窮．常見題型：

(1)由遞推公式給出數(shù)列，與其他知識交匯，考查運用遞推公式進行恒等變形、

推理與綜合能力．

(2)給出S_n與a_n的關(guān)系，求通項等，考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與解決問題能力．

(3)以函數(shù)、解析幾何的知識為載體，或定義新數(shù)列，考查在新情境下知識的遷移能力．

理科生需要注意數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列綜合題中的應(yīng)用，注意不等式型的遞推數(shù)列．

★★★突破重難點

[范例1]已知數(shù)列中，對一切自然數(shù)，都有且

．

求證：(1)；

　　　 (2)若表示數(shù)列的前項之和，則．

解析： (1)由已知得，

又因為，所以, 因此，即．

(2) 由結(jié)論(1)可知 　，即，

于是，

即．

[點睛]從題目的結(jié)構(gòu)可以看出，條件是解決問題的關(guān)鍵，必須從中找出和的關(guān)系．

[文]記

　 (Ⅰ)求b₁、b₂、b₃、b₄的值；

　 (Ⅱ)求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和

解析(I)

整理得

(Ⅱ)由

所以

[范例2]設(shè)數(shù)列的前項的和，

(Ⅰ)求首項與通項；

(Ⅱ)設(shè)，，證明：

解析 　(Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… 　�、佟�

得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2.

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…

將①和②相減得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),　 n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, …, 因而數(shù)列{a_n+2ⁿ}是首項為a₁+2=4,公比為4的等比數(shù)列，即a_n+2ⁿ = 4×4 ^n－1= 4 ⁿ, n=1,2,3, …, 因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …

(Ⅱ) 　S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2) = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)　　

　　　 T_n= = × = ×( － )

所以 = － )　 = ×( － ) <

[點睛]S_n與a_n始終是我們的重點，需要我們引起重視；注意總結(jié)積累數(shù)列不等式放縮的技巧．

[文]設(shè)數(shù)列的前n項和為S_n，若是首項為S₁各項均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項公式(用S₁和q表示)；

(2)試比較的大小，并證明你的結(jié)論.

解析 (1)∵是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列， ∴．

當n=1時，a₁=S₁；　 　當．

∴

(2)當n=1時，

　∴．

當時，

∵

①當q=1時，

②當

③當

綜上可知：當n=1時，．當

若　 若

[范例3]由坐標原點O向曲線引切線，切于O以外的點P₁，再由P₁引此曲線的切線，切于P₁以外的點P₂)，如此進行下去，得到點列{ P_n}}.

求：(Ⅰ)的關(guān)系式；

　　　 (Ⅱ)數(shù)列的通項公式；

(Ⅲ)當時，的極限位置的坐

解析 (Ⅰ)由題得 　

過點P₁(的切線為

過原點

又過點P_n(的

因為過點P_n-1( 　

整理得

(Ⅱ)由(I)得

所以數(shù)列{x_n-a}是以公比為的等比數(shù)列

(法2)通過計算再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(Ⅲ)

的極限位置為(

[點睛]注意曲線的切線方程的應(yīng)用，從而得出遞推式．

[文]數(shù)列的前項和為，已知

(Ⅰ)寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達式；

(Ⅱ)設(shè)，求數(shù)列的前項和．

解析 由得，

即，所以，對成立．

由，，…，

相加得，又，所以，

當時，也成立．

(Ⅱ)由，得．

而，

，

.

[范例4]設(shè)點(，0)，和拋物線：y＝x²+a_n x+b_n(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－，由以下方法得到：

　x₁＝1，點P₂ (x₂，2)在拋物線C₁：y＝x²+a₁x+b₁上，點A₁(x₁，0)到P₂的距離是A₁到C₁上點的最短距離，…，點在拋物線：y＝x²+a_n x+b_n上，點(，0)到的距離是 到 上點的最短距離．

　(Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

　(Ⅱ)證明{}是等差數(shù)列．

解：(Ⅰ)由題意,得A(1,0),　 C₁：y=x²-7x+b₁.

設(shè)點P(x,y)是C₁上任意一點,則|A₁P|=

令f (x)=(x-1)²+(x²-7x+b₁)², 則

由題意得, 即

又P₂(x₂,0)在C₁上,　 ∴2=x₂² -7x₂+b₁

解得x₂=3, b₁=14. 故C₁方程為y=x²-7x+14.

(Ⅱ)設(shè)P(x,y)是C₁上任意一點,則

|A_nP|=

令g(x)=(x-x_n)²+(x²+a_nx+bn)²,則,

由題意得,,即=0,

又∵,∴(x_n+1-x_n)+2ⁿ(2x_n+1+a_n)=0(n≥1),

即(1+2ⁿ⁺¹)x_n+1- x_n+2 ⁿ a_n =0,　 (*)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n=2n-1.

①　　　 當n=1時,x₁=1,等式成立.

②　　　 假設(shè)當n=k時,等式成立,即x_k=2k-1.

則當n=k+1時,由(*)知(1+2^k+1)x_k+1-x_k+2^ka_k=0,　 (*)

又a_k=-2-4k-,∴.

即當n=k+1,時等式成立.

由①②知,等式對n∈N⁺成立,∴{x_n}是等差數(shù)列.

[點睛]注意第(1)小題其實是第(2)小題的特例，對于求數(shù)列的通項公式，歸納猜想證明是十分常用的手段．

[文]已知數(shù)列滿足

(I)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列的通項公式；

(II)若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列．

解析 (I)證明：　

是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．

(II)解：由(I)得

(III)證明：　

　　　　 ①

　②

②－①，得

即　　 　③

　　�、�

④－③，得　 即

　　 是等差數(shù)列．

★★★自我提升

5．已知n次式項式.

若在一種算法中，計算的值需要k－1次乘法，計算P₃(x₀)的值共需要9次運算(6次乘法，3次加法)，則計算P₁₀(x₀)的值共需要　 65 　次運算.

下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：P₀(x)=a₀，P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0，1，2，…，n－1).利用該算法，計算P₃(x₀)的值共需要6次運算，計算P_n(x₀)的值共需要　　　 2n　　　 次運算.　　　

4．對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數(shù)列的前n項和的公式是　2ⁿ⁺¹-2 　　.

3．在數(shù)列{a_n}中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),則該數(shù)列的通項a_n=__2 ⁿ⁺¹-3___.