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4．已知兩點(diǎn)M(-1，0)，N(1，0)且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列，

(Ⅰ)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

(Ⅱ)若點(diǎn)P坐標(biāo)為，為的夾角，求tanθ。

例5．如圖所示，已知拋物線y²＝4px(p＞0)，O為頂點(diǎn)，A、B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

［剖析］點(diǎn)M是OM與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)M隨著A、B兩點(diǎn)的變化而變化，而A、B為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M與A、B的直接關(guān)系不明顯，因此需引入?yún)?shù).

［解］解法一：設(shè)M(x₀，y₀)，則k_OM=，k_AB=－，

直線AB方程是y=－(x－x₀)+y₀.由y²=4px可得x=，將其代入上式，整理，得

x₀y²－(4py₀)y－4py₀²－4px₀²=0.　　　　　　 ①

此方程的兩根y₁、y₂分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴A(，y₁)、B(，y₂).

∵OA⊥OB，∴k_OA·k_OB=－1.∴·=－1.∴y₁y₂=－16p².

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由①可得y₁·y₂=，∴=16p².

化簡(jiǎn)，得x₀²+y₀²－4px₀=0，即x²+y²－4px=0(除去原點(diǎn))為所求.

∴點(diǎn)M的軌跡是以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

解法二：設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(pt₁²，2pt₁)、B(pt₂²，2pt₂).

∴k_OA=，k_OB=，k_AB=.∵OA⊥OB，∴t₁·t₂=－4.

∴AB方程是y－2pt₁=(x－pt₁²)，　　　　　　　　 ①

直線OM的方程是y=－x.　　　　　　　　 ②

①×②，得(px)t₁²+2pyt₁－(x²+y²)=0.　　　　 ③

∴直線AB的方程還可寫(xiě)為y－2pt₂=(x－pt₂²).　　　　　 ④

由②×④，得(px)t₂²+(2py)t₂－(x²+y²)=0.　　　　　　 ⑤

由③⑤可知t₁、t₂是方程(px)t²+(2py)t₂－(x²+y²)=0的兩根.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得t₁t₂=.又t₁·t₂=－4，

∴x²+y²－4px=0(原點(diǎn)除外)為所求點(diǎn)M的軌跡方程.

故M的軌跡是以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

解法三：設(shè)M(x，y)，直線AB方程為y=kx+b，由OM⊥AB得k=－.

由y²=4px及y=kx+b消去y，得k²x²+x(2kb－4p)+b²=0.

所以x₁x₂=.消去x，得ky²－4py+4pb=0.所以y₁y₂=.由OA⊥OB，

得y₁y₂=－x₁x₂，所以=－，b=－4kp.

故y=kx+b=k(x－4p).用k=－代入，得x²+y²－4px=0(x≠0).

解法四：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，直線OA的方程為y=kx，

解得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，

顯然k≠0，則直線OB的方程為y=－x.

由

　　 y=kx，

y²=4px，

類似地可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4pk²，－4pk)，

從而知當(dāng)k≠±1時(shí)，

k_AB==
故得直線AB的方程為y+4pk=(x－4pk²)，
即(－k)y+4p=x，　　　　　 ①
　

直線OM的方程為y=－(－k)x.　　　 ②

可知M點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足①②，由①及②消去k便得4px=x²+y²，即(x－2p)²+y²=4p²，但x≠0，當(dāng)k=±1時(shí)，容易驗(yàn)證M點(diǎn)的坐標(biāo)仍適合上述方程.

故點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2p)²+y²=4p²(x≠0)，

它表示以點(diǎn)(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓.

［警示］本題考查了交軌法、參數(shù)法求軌跡方程，涉及了類比、分類討論等數(shù)學(xué)方法，消參時(shí)又用到了整體思想法，對(duì)含字母的式子的運(yùn)算能力有較高的要求，同時(shí)還需要注意軌跡的“完備性和純粹性”.此題是綜合考查學(xué)生能力的一道好題.

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

3. 已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程．

例4．給出定點(diǎn)A(a，0)(a＞0)和直線l：x=－1.B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.

［剖析］由直接法得出曲線的方程，再作進(jìn)一步化簡(jiǎn)，并判斷曲線的形狀。

［解］解法一：依題意，記B(－1，b)(b∈R)，則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=－bx.設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得

|y|=　　　　 ①

依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有：y=－(x－a)

由x－a≠0，得b=－　　　　 ②

將②式代入①式得：y²［1+］=［y－］².

整理得：y²［(1－a)x²－2ax+(1+a)y²］=0

若y≠0，則(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a)；

若y=0，則b=0，∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0).滿足上式.

綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為：(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a).

∵ a≠1，∴(0≤r＜a　　 ③

由此知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程③表示橢圓弧段；當(dāng)a＞1時(shí)，方程③表示雙曲線一支的弧段.

解法二：如圖，設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，E是垂足

(Ⅰ)當(dāng)|BD|≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C(x，y)，

則0＜x＜a，y≠0.

由CE∥BD，得|BD|=(1+a)

∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD

∴2∠COA=π－∠BOD

∵tan(2∠COA)=，tan(π－∠BOD)=－tanBOD，tanCOA=，tanBOD=(1+a)

∴(1+a)整理得：(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a)

(Ⅱ)當(dāng)|BD|=0時(shí)，∠BOA=π，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式

綜合(Ⅰ)(Ⅱ)，得點(diǎn)C的軌跡方程為(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a).

∵ a≠1，

∴(0≤r＜a　　　 (*)

由此知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程(*)表示橢圓弧段；

當(dāng)a＞1時(shí)，方程(*)表示雙曲線一支的弧段.

［警示］本題主要考查了曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.解法一利用設(shè)點(diǎn)法引入?yún)?shù)b，消參數(shù)得方程.解法二則利用角之間關(guān)系，使用二倍角公式得出等式，化簡(jiǎn)較簡(jiǎn)捷，但分析時(shí)不容易想.

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

2．求過(guò)點(diǎn)所作橢圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

例3．如圖所示，已知P(4，0)是圓x²+y²=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程　　

［剖析］本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程　

［解］設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|　

又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理　在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)　

設(shè)Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因?yàn)?i>R是PQ的中點(diǎn)，所以x₁=,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得

－10=0

整理得　 x²+y²=56,這就是所求的軌跡方程　

［警示］對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程　

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

1．如圖所示，直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁.以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程.

例2．如下圖，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.

［剖析］欲求PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，需知P、Q的坐標(biāo).思路一，P、Q是直線l與拋物線C的交點(diǎn)，故需求直線l的方程，再與拋物線C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得M的軌跡方程；思路二，設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，利用P、Q的坐標(biāo)滿足拋物線C的方程，代入拋物線C的方程相減得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的軌跡方程.

［解］設(shè)P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)、M(x₀，y₀)，依題意知x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，　 ①　　得y′=x.

∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k_切=x₁，∴直線l的斜率k_l=－=－，

直線l的方程為y－x₁²=－(x－x₁) 　 ②

方法一：聯(lián)立①②消去y，得x²+x－x₁²－2=0.∵M為PQ的中點(diǎn)，

∴

x₀==－，

y₀=x₁²－(x₀－x₁).

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x²++1(x≠0).

方法二：由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，

得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂)，

則x₀==k_l=－，∴x₁=－.

將上式代入②并整理，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x²++1(x≠0).

［警示］本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)，以及求軌跡方程的常用方法. 與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，可采用“消參法”，即設(shè)出弦中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓錐曲線方程，根據(jù)斜率公式，消去參數(shù)，得弦中點(diǎn)的軌跡方程；或直接設(shè)出弦的兩個(gè)端的坐標(biāo)及中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)端點(diǎn)坐標(biāo)適合圓錐曲線方程，聯(lián)立方程，采用“設(shè)點(diǎn)作差”的方法，分析軌跡方程.這種方法相比較而言，“設(shè)點(diǎn)作差”(即點(diǎn)差法)的計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)單，但是一般要知道相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)方可采用，有一定的限制性.

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

6．高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________　

[典例精析]